【洛谷 P8649】[蓝桥杯 2017 省 B] k 倍区间 题解（前缀和+同余定理+组合数学）

[蓝桥杯 2017 省 B] k 倍区间

题目描述

给定一个长度为 $N$ 的数列，$A_1,A_2,\cdots A_N$，如果其中一段连续的子序列 $A_i,A_{i+1},\cdots A_j(i\le j)$ 之和是 $K$ 的倍数，我们就称这个区间 $[i,j]$ 是 $K$ 倍区间。

你能求出数列中总共有多少个 $K$ 倍区间吗？

输入格式

第一行包含两个整数 $N$ 和 $K$$(1\le N,K\le 10^5)$。

以下 $N$ 行每行包含一个整数 $A_i$$(1\le A_i\le 10^5)$。

输出格式

输出一个整数，代表 $K$ 倍区间的数目。

样例 #1

样例输入 #1

5 2
1  
2  
3  
4  
5

样例输出 #1

6

提示

时限 2 秒, 256M。蓝桥杯 2017 年第八届

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思路

首先定义一些全局变量，包括数列的长度 $n$，倍数 $k$，数列 $a$，前缀和数组 $ps$，以及一个映射 mcnt 来存储前缀和模 $k$ 的结果的计数。

在 main 函数中，首先初始化 ps[0] 为 0，mcnt[0] 为 1。初始化 mcnt[0] 为 1，就相当于在所有的前缀和中预先加入了一个和为 0 的前缀和，这样就能正确计算出那些直接就是 $k$ 倍数的子序列数量。

然后读取 $n$ 和 $k$ 的值，接着读取数列 $a$ 的各个元素，并计算其前缀和，同时更新 mcnt 映射。

计算前缀和的目的是为了快速得到任意一个子序列的和，而 mcnt 映射的目的是为了快速找到前缀和模 $k$ 结果相同的子序列。由同余定理可知，如果两个前缀和模 $k$ 的结果相同，那么这两个前缀和对应的子序列之间的序列和必定是 $k$ 的倍数。

接着遍历 mcnt 映射，对于映射中的每一个值，如果其计数大于 1，那么就说明存在多个前缀和模 $k$ 的结果相同，也就是存在多个和为 $k$ 的倍数的连续子序列。这些子序列可以任意两两组合，所以可以用组合公式 $C_n^2=n(n-1)/2$ 来计算子序列的数量，其中 $n$ 是前缀和模 $k$ 结果相同的数量。

最后输出计算得到的和为 $k$ 的倍数的连续子序列的总数量。

注意

要开 long long

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AC代码

#include 
#include 
#include 
#define AUTHOR "HEX9CF"
using namespace std;
using ll = long long;

const int N = 1e6 + 7;
const int INF = 0x3f3f3f3f;
const ll MOD = 1e9 + 7;

int n, k;
int a[N];
ll ps[N];

map<int, ll> mcnt;

int main() {
	ios::sync_with_stdio(0);
	cin.tie(0);
	cout.tie(0);

	ps[0] = 0;
	mcnt[0] = 1;

	cin >> n >> k;
	for (int i = 1; i <= n; i++) {
		cin >> a[i];
		ps[i] = ps[i - 1] + a[i];
		mcnt[ps[i] % k]++;
	}

	ll ans = 0;
	for (const auto m : mcnt) {
		// cout << m.first << " " << m.second << "\n";
		if (m.second > 1) {
			ll s = m.second;
			ans += (s * (s - 1)) >> 1;
		}
	}
	cout << ans << "\n";
	return 0;
}