牛客小白月赛61-E-排队

很好的一道题啊,学到了不少东西!!!!

首先是一个结论

逆序对总数 =    n! / 2  * 不相等的数字对数

(1) 不相等的数字对数怎么求

        结论        不相等的数字对数 = C(n,2) - ∑C(2,cnt(i))(i数字的出现次数)

(2) n! / 2 怎么处理,有取模的除运算怎么处理???

这块一直不会,今天一学才发现,就是之前学过的乘法逆元,学过就忘,不愧是我(doge

这里只说怎么处理,证明之类的不写了

a / b % mod 的情况,可以求b的乘法逆元

注意,b的乘法逆元存在是有条件的

逆元存在充要条件：分母与模数互质

下面是两种求法

(1) p为质数

        b的乘法逆元  x = qpow(b,mod - 2,mod),费马小定理,注意是mod - 2

(2)p不是质数

        那么就得用扩展欧几里得算法了

        实现代码

        

void Exgcd(int a, int b, int& x, int& y) {
		if (!b) x = 1, y = 0;
		else Exgcd(b, a % b, y, x), y -= a / b * x;
}

       对于求 a / b % mod的问题 用扩展欧几里得算法

      各参数含义:

        a: 这里的a其实是a / b里的b

        b:这里的b其实是p

        x:要求的逆元

        y:不知道

        注意,扩展欧几里得是可以有返回值的,这个返回值的意义就是a,b的gcd

   其实是exgcd(b,p,逆元x,路人y) return = b,p的gcd,不过这里用不到

求出逆元以后,就可以用 n! * 逆元 * 求出的不相等的数字数 % mod了

// Problem: 排队
// Contest: NowCoder
// URL: https://ac.nowcoder.com/acm/contest/46597/E
// Memory Limit: 524288 MB
// Time Limit: 2000 ms
// Date: 2024-03-14 21:21:51
// 
// Powered by CP Editor (https://cpeditor.org)

#include
#define endl '\n'
#define int int64_t
using namespace std;
int a[100005],rec[100005];
const int mod = 1e9 + 7;
int fac(int x) {
	if (rec[x]) return rec[x];
	if (x == 0)
		return rec[0] = 1;
	return 
		rec[x] = (fac(x - 1) * x) % mod;
}
int qpow(int a,int b) {
	int res = 1;
	while (b) {
		if (b & 1)res = res * a % mod;
		a = a * a % mod, b >>= 1;
	}
	return res;
}
int C2(int x) {
	return x * (x - 1) / 2;
}
void exgcd(int a,int b,int&x ,int& y) {
	if (!b) x = 1, y = 0;
	else exgcd(b, a % b, y, x), y -= a / b * x;
}
void solve() {
	int n; cin >> n;
	fac(n);
	unordered_mapp;
	for (int i = 1; i <= n; ++i) {
		cin >> a[i];
		p[a[i]]++;
	}
	//逆序对总数 = n! / 2 * 不相等的数字对数
	int x, y;
	exgcd(2,mod, x, y);
	x = (x % mod + mod) % mod;
	int l = (rec[n] * x) % mod;
	/*cout << "x = " << x << endl;
	cout << "rec[n] = " << rec[n] << endl;*/
	int r = C2(n);
	for (auto k : p) {
		r -= C2(k.second);
	}
	/*cout << "l = " << l << endl;
	cout << "r = " << r << endl;*/
	cout << l * r % mod << endl;
}
signed main() {
	ios::sync_with_stdio(false); cin.tie(0); cout.tie(0);
	int t = 1;
	//cin >> t;
	while (t--) {
		solve();
	}
	return 0;
}