扩展欧几里德

参考地址：http://baike.baidu.com/view/1478219.htm
  
设 a>b。

　　1，显然当 b=0，gcd（a，b）=a。此时 x=1，y=0；

　　2，ab<>0 时

　　设 ax1+by1=gcd(a,b);

　　bx2+(a mod b)y2=gcd(b,a mod b);

　　根据朴素的欧几里德原理有 gcd(a,b)=gcd(b,a mod b);

　　则:ax1+by1=bx2+(a mod b)y2;

　　即:ax1+by1=bx2+(a-(a/b)*b)y2=ay2+bx2-(a/b)*by2;

　　根据恒等定理得：x1=y2; y1=x2-(a/b)*y2;

　　这样我们就得到了求解 x1,y1 的方法：x1，y1 的值基于 x2，y2.

　　上面的思想是以递归定义的，因为 gcd 不断的递归求解一定会有个时候 b=0，所以递归可以

　　结束。

    #include<stdio.h>

int gcd(int a,int b)

{

    if(b==0)return a;

    return gcd(b,a%b);

}

void  exgcd(int a,int b,int &x,int &y)

{

    if(b==0)

    {

        x=1;

        y=0;



    }

    else

    {

         exgcd(b,a%b,y,x);//　根据恒等定理得：x1=y2; y1=x2-(a/b)*y2;

                          //可以改为ecxgcd(b,a%b,x,y)

                          // t=x;

                          //x=y;

                          //y=t-(a/b)*y;

         y-=x*(a/b);

    }

}

int main()

{

    int a,b;

    int x,y;

    while(scanf("%d%d",&a,&b)!=EOF)

    {

        int k=gcd(a,b);

        printf("123\n");

        exgcd(a,b,x,y);

        printf("%d  SSS %d %d\n",k,x,y);



    }

}



使用扩展欧几里德算法解决不定方程的办法

　　对于不定整数方程pa+qb=c，若 c mod Gcd(a, b)=0,则该方程存在整数解，否则不存在整数解。

　　上面已经列出找一个整数解的方法，在找到p * a+q * b = Gcd(a, b)的一组解p0,q0后， /*p * a+q * b = Gcd(a, b)的其他整数解满足：

　　p = p0 + b/Gcd(a, b) * t

　　q = q0 - a/Gcd(a, b) * t(其中t为任意整数)

　　至于pa+qb=c的整数解，只需将p * a+q * b = Gcd(a, b)的每个解乘上 c/Gcd(a, b) 即可

　　在找到p * a+q * b = Gcd(a, b)的一组解p0,q0后，应该是

　　得到p * a+q * b = c的一组解p1 = p0*(c/Gcd(a,b)),q1 = q0*(c/Gcd(a,b))，p * a+q * b = c的其他整数解满足：

　　p = p1 + b/Gcd(a, b) * t

　　q = q1 - a/Gcd(a, b) * t(其中t为任意整数)

　　p 、q就是p * a+q * b = c的所有整数解。

　　编程时 exgcd 更多用于求解“中国余数定理”相关知识 举个例子 比如n除以5余2 除以13余3 那么n最小是多少，所有的n满足什么条件？

　　n（min)=42

　　n=42+k*65