母函数 详解

转自      Tanky Woo

母函数（Generating function）详解

前段时间写了一篇《背包之01背包、完全背包、多重背包详解》，看到支持的人很多，我不是大牛，只是一个和大家一样学习的人，写这些文章的目的只是为了一是希望让大家学的轻松，二是让自己复习起来更方便。

（PS：大家觉得我的文章还过的去就帮我支持下我的个人独立博客---Tanky Woo的程序人生：http://www.wutianqi.com/，谢谢）

(以下内容部分引至杭电ACM课件和维基百科)

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在数学中，某个序列的母函数是一种形式幂级数，其每一项的系数可以提供关于这个序列的信息。使用母函数解决问题的方法称为母函数方法。

母函数可分为很多种，包括普通母函数、指数母函数、L级数、贝尔级数和狄利克雷级数。对每个序列都可以写出以上每个类型的一个母函数。构造母函数的目的一般是为了解决某个特定的问题，因此选用何种母函数视乎序列本身的特性和问题的类型。

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这里先给出两句话，不懂的可以等看完这篇文章再回过头来看：

"把组合问题的加法法则和幂级数的t的乘幂的相加对应起来"

"母函数的思想很简单—就是把离散数列和幂级数一一对应起来，把离散数列间的相互结合关系对应成为幂级数间的运算关系，最后由幂级数形式来确定离散数列的构造. "

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我们首先来看下这个多项式乘法：

 

由此可以看出:

1. x的系数是a₁,a₂,…a_{n的单个组合的全体。}

2. x²的系数是a₁,a₂,…a₂的两个组合的全体。

………

n. xⁿ的系数是a₁,a₂,….a_n的n个组合的全体（只有1个）。

由此得到：

 

母函数的定义：

对于序列a₀，a₁，a₂，…构造一函数：

  

称函数G(x)是序列a₀，a₁，a₂，…的母函数

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这里先给出2个例子，等会再结合题目分析：

第一种：

 

有1克、2克、3克、4克的砝码各一枚，能称出哪几种重量？每种重量各有几种可能方案？ 

考虑用母函数来接吻这个问题：

我们假设x表示砝码，x的指数表示砝码的重量，这样：

1个1克的砝码可以用函数1+x表示，

1个2克的砝码可以用函数1+x²表示，

1个3克的砝码可以用函数1+x³表示，

1个4克的砝码可以用函数1+x⁴表示，

上面这四个式子懂吗？

我们拿1+x²来说，前面已经说过，x表示砝码，x的指数表示重量，即这里就是一个质量为2的砝码，那么前面的1表示什么？1代表重量为2的砝码数量为0个。（理解！）

不知道大家理解没，我们这里结合前面那句话：

"把组合问题的加法法则和幂级数的t的乘幂的相加对应起来"

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1+x²表示了两种情况：1表示质量为2的砝码取0个的情况，x²表示质量为2的砝码取1个的情况。

这里说下各项系数的意义：

在x前面的系数a表示相应质量的砝码取a个，而1就表示相应砝码取0个，这里可不能简单的认为相应砝码取0个就该是0*x²(想下为何？结合数学式子)。

Tanky　Woo 的程序人生：http://www.wutianqi.com/

 

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所以，前面说的那句话的意义大家可以理解了吧？

几种砝码的组合可以称重的情况，可以用以上几个函数的乘积表示：

(1+x)(1+x²)(1+x³)(1+x⁴)

=(1+x+x²+x³)(1+x³+x⁴+x⁷)

=1+x+x²+2x³+2x⁴+2x⁵+2x⁶+2x⁷+x⁸+x⁹+x¹⁰ 

从上面的函数知道：可称出从1克到10克，系数便是方案数。（！！！经典！！！）

    例如右端有2x⁵ 项，即称出5克的方案有2：5=3+2=4+1；同样，6=1+2+3=4+2；10=1+2+3+4。

    故称出6克的方案有2，称出10克的方案有1 。

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接着上面，接下来是第二种情况：

求用1分、2分、3分的邮票贴出不同数值的方案数：

大家把这种情况和第一种比较有何区别？第一种每种是一个，而这里每种是无限的。

 

以展开后的x⁴为例，其系数为4，即4拆分成1、2、3之和的拆分数为4；

即 ：4=1+1+1+1=1+1+2=1+3=2+2

这里再引出两个概念整数拆分和拆分数：

 

所谓整数拆分即把整数分解成若干整数的和（相当于把n个无区别的球放到n个无标志的盒子，盒子允许空，也允许放多于一个球）。

整数拆分成若干整数的和，办法不一，不同拆分法的总数叫做拆分数。

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现在以上面的第二种情况每种种类个数无限为例，给出模板：

代码 

#include<iostream>

usingnamespace std;

 

constint _max = 10001;

//c1是保存各项质量砝码可以组合的数目

//c2是中间量，保存每一次的情况

intc1[_max], c2[_max];  

intmain()

{   //int n,i,j,k;

    int nNum;  //

    int i, j, k;

 

    while(cin >> nNum)

    {

       for(i=0; i<=nNum; ++i)   // ---- ①

       {

           c1[i] = 1;

           c2[i] = 0;

       }

       for(i=2; i<=nNum; ++i)   // ----- ②//第i个表达式

       {

 

           for(j=0; j<=nNum; ++j)   // ----- ③j表示前一个表达式的项数(即使某一项不存在，也无所谓，因为若第i像不存在的话c1[i]=0)

              for(k=0; k+j<=nNum; k+=i)  // ---- ④k表示后一个表达式所能取到的指数

              {

                  c2[j+k] += c1[j];

              }

           for(j=0; j<=nNum; ++j)     // ---- ⑤

           {

              c1[j] = c2[j];

              c2[j] = 0;

           }

       }

       cout << c1[nNum] << endl;

    }

    return 0;

}