关于求 p_i != i and p_i != i+1 的方案数的思考过程

 

问题

　　p_i != i and p_i != i+1 

思路

　　

 PS： \sum_{k = 0}^n (-1)^k (n - k)! (2n) / (2n - k) \binom{2n - k}{k} 

　　

 

　　

 设  E_i表示 p_i = i 的{p_n}数量

    F_i表示 p_i = i + 1 的{p_n}数量
 

    把E, F排成一圈，E_1, F_1, E_2, F_2, …, E_n, F_n
 
　 那么，相邻两个集合的交是空
 
　 然后证一个引理，在这2n个集合里面挑出k个，两两不相邻的方案数，就是        //ps binomial 二项式

　　

    最后套上容斥，就得到想要的，引理很好证 

 

    

 引理证明，继续往后翻聊天记录
 ftiasch (826513189)  16:41:00
比较正式的推导应该是这样的
 ftiasch (826513189)  16:41:07
假设k个分别是x_1, x_2, …, x_k
 ftiasch (826513189)  16:41:30
那么就是要求1 <= x_1, x_{i + 1} - x_i >= 2, x_k <= n
 ftiasch (826513189)  16:41:32
没错吧
飘零虾(44785644)  16:42:01
那x_1 == 1 && x_k==n也不行吧？ 
 ftiasch (826513189)  16:42:08
噢，对不起
 ftiasch (826513189)  16:42:26
这里可能有点麻烦
 ftiasch (826513189)  16:42:37
我要分两个情况讨论，
 ftiasch (826513189)  16:43:02
我想想要不要
 ftiasch (826513189)  16:43:22
噢，没问题
 ftiasch (826513189)  16:43:34
那么就是要求1 <= x_1, x_{i + 1} - x_i >= 2, x_k - x_1 <= n - 1
 ftiasch (826513189)  16:43:50
噢，似乎还是需要x_k <= n的限制
 ftiasch (826513189)  16:44:40
那我觉得可能是讨论一下较好
 ftiasch (826513189)  16:44:56
分x_1 = 1和x_1 > 1讨论
 ftiasch (826513189)  16:45:05
我们做x_1 >= 2的case
 ftiasch (826513189)  16:45:15
那么就是要求2 <= x_1, x_{i + 1} - x_i >= 2, x_k <= n
 ftiasch (826513189)  16:45:30
令d_1 = x_1, d_i = x_i - x_{i - 1}
 ftiasch (826513189)  16:45:44
就变成，d_i >= 2, 而且d_1 + d_2 + … + d_k <= n
 ftiasch (826513189)  16:45:52
为了把不等号去掉，再来一项p
 ftiasch (826513189)  16:45:54
p >= 0
 ftiasch (826513189)  16:46:01
就变成了d_1 + d_2 + … + d_k + p = n
 ftiasch (826513189)  16:46:24
再换元，(d_1 - 1) + (d_2 - 1) + … + (d_k - 1) + (p + 1) = n - k + 1
 ftiasch (826513189)  16:46:36
这个就相当于，有n - k + 1个球，要分成k + 1组，问方案数
 ftiasch (826513189)  16:46:49
其实就是在n - k个空挡里面，插k个隔板
飘零虾(44785644)  16:46:46
嗯 
 ftiasch (826513189)  16:46:55
所以就是binom{n - k}{k}
 ftiasch (826513189)  16:47:22
而x_1 = 1的case，其实就相当于在(n - 2)里面，放k- 1个球
 ftiasch (826513189)  16:47:38
就是binom{n - k - 1}{k - 1}