数位统计/数位DP 专题
本质上是暴力模拟计算，逐位统计、以及如何寻找不被约束的状态来简化计算 是关键点。
例题1 ural 1057.
1. 树形结合, 按位统计. 若当前位为1, 则取0, 剩下的位任意取都比其小, ans += f[ L ][ k-tot ], L表示剩下长度. 论文这个地方写的感觉不对- -...
#include<cstdio> #include<cstdlib> #include<cstring> #include<string> #include<algorithm> using namespace std; int f[32][32]; void init(){ memset(f,0,sizeof(f)); f[0][0] = 1; for(int i = 1; i <= 31; i++){ f[i][0] = f[i-1][0]; for(int j = 1; j <= i; j++) f[i][j] = f[i-1][j-1] + f[i-1][j]; } } int get(int n,int b){ string s; while( n ){ s = char((n%b)+'0') + s; n /= b; } for(int i = 0; i < (int)s.size(); i++){ if( s[i]-'0' > 1 ){ for(int j = i; j < (int)s.size(); j++) s[j] = '1'; break; } } int x = 0; for(int i = 0; i < (int)s.size(); i++) x = (x<<1)|(s[i]-'0'); return x; } int calc(int n,int k){ int tot = 0, res = 0; for(int i = 30; i >= 0; i--){ if( (n&(1<<i)) ){ if( tot <= k ) res += f[i][(k-tot)]; tot += 1; } } if( tot == k ) res++; return res; } int main(){ init(); int x, y, b, k; scanf("%d%d%d%d",&x,&y,&k,&b); x = get(x,b), y = get(y,b); printf("%d\n", calc(y,k) - calc(x-1, k) ); return 0; }
2. 还是比较喜欢记忆化的写法, 比较通用. Count( bool less, int Length, int cur_num, int target_num, int x )
#include<cstdio> #include<cstdlib> #include<cstring> #include<string> #include<algorithm> using namespace std; int get(int n,int b){ string s; while( n ){ s = char((n%b)+'0') + s; n /= b; } for(int i = 0; i < (int)s.size(); i++){ if( s[i]-'0' > 1 ){ for(int j = i; j < (int)s.size(); j++) s[j] = '1'; break; } } //printf("s = %s\n", s.c_str() ); int x = 0; for(int i = 0; i < (int)s.size(); i++) x = (x<<1)|(s[i]-'0'); return x; } int dp[50][50]; // dfs( false, 31, 0, k, x ) int dfs(bool less, int L, int tot, int k, long long x){ //x本身不被计算 //printf("less = %d, L = %d, tot = %d, k = %d, x = %lld\n", less, L, tot, k, x ); if( L == 0 ) return less && (tot==k); if( less && (dp[L][k-tot]!=-1) ) return dp[L][k-tot]; int res = 0, d = (x&(1ll<<(L-1))) > 0 ? 1 : 0; for(int i = 0; i <= 1; i++){ if( (less==false) && (i > d) ) continue; res += dfs( less||(i<d), L-1, tot + (i==1), k, x ); } if(less) dp[L][k-tot] = res; return res; } void solve(int x,int y,int k){ memset(dp,0xff,sizeof(dp)); long long a = x, b = y+1; printf("%d\n", dfs(false,32,0,k,b) - dfs(false,32,0,k,a) ); } int main(){ int x, y, b, k; scanf("%d%d%d%d",&x,&y,&k,&b); x = get(x,b), y = get(y,b); solve( x, y, k ); return 0; }
[1,n] 区间中二进制形式下1的数量
// If No Limit // dp[i]: I位1的数量和 // dp[i] = dp[i-1] + dp[i-1] + 2^(i-1) #include<cstdio> #include<cstring> const int N = int(1e5)+10; int f[N]; int dfs(bool less,int x,int L){//32---1 // printf("L = %d, less = %d\n", L,less); getchar();getchar(); if( L == 1 ) return less; if( less && (f[L]!=-1) ) return f[L]; int res = 0, d = (x&(1<<(L-1)))?1:0; for(int j = 0; j < 2; j++){ if( !less && (j>d) ) continue; res += dfs( less||(j<d), x, L-1); if( j == 1 ){ if(less) res += 1<<(L-1); else{ for(int i = 1; i < L; i++) if( x&(1<<(i-1)) ) res+= 1<<(i-1); } } } if( less ) f[L] = res; return res; } int main(){ int x; memset(f,-1,sizeof(f)); // for(x = 1; x <= 1000; x++) // printf("n = %d,res = %d\n", x, dfs(false,x,32) ); while( scanf("%d", &x) != EOF){ printf("%d\n", dfs(false,x,32) ); } return 0; }
例题2 spoj 1182 Sorted bit sequence 求区间 [x,y] 中数位和从小到大，相同则数值大小排序的第K个数
f( i, j ) 表示后i位任意，数位和为j的方案数
count(i,j) 表示 [1,i)间数位和为j的方案数
1. 首先利用 count() 求出第k的数位和 sum.
2. 然后再逐位确定，同样利用count();
负数可以选择 与整数分开，单独做， 或者通过转换例如在33位+1之类的 与整数一起做。
例题3 spoj 2319 Sequence
因为对于一个最大值 S， 其分组数有一个最小值x, 若x<=M 则意味着S还可以减小。 所以可以二分找出最合适的S。
对于每次二分得到的最大值S，求分数数量时，每次让分组尽量满，即可得到最小分组数量X
函数 count( n ) 表示 [1,n] 中所有数二进制形式下 1的数量总和
假定目前分组左边界是 a, 我们需要求最大的右边界满足 count(b) - count(a-1) <= S.
这里需要通过逐位确定的方法的求解b的值
例题4 sgu 390 Tickets
sumOf( x ) 表示x的数位和
最好理解成 按顺序枚举 x 属于 [L,R] ， 然后一个一个分组添加。 若当前 数位和为 remain, 当加入x进来时， remain + sumOf(x) >= K时，此时就会多一个分组，
否则当前未满的分组 remain = remain + sumOf(x).
我们可以提取一个不受约束的状态来 简化计算。
dp[ L ][ sum ][ left ] : 表示 后L位取所有值，且L位之前的数位和为sum，且之前最后一个分组未满时已有的数位和left， 分组总数 与 最后一个未满分组剩余量
然后进行按位处理以及合并状态。
#include<cstdio> #include<cstring> #include<cstdlib> #include<algorithm> #include<cmath> using namespace std; typedef long long LL; const int Length = 19; int K ,low[20], high[20]; void get( LL x, int *r ){ int cnt = 0; for(int i = 0; i < Length; i++) r[i] = x%10, x /= 10; // for(int i = 0; i < Length; i++) // printf("%d ", r[i] ); puts(""); } struct Node{ int left; LL tot; Node(){} Node(int _l,LL _t):left(_l),tot(_t){} }; Node dp[20][200][1001]; bool vis[20][200][1001]; Node count(bool isGreater,bool isLess,int L,int sum,int start){ if( L == 0 ){ if( isLess && isGreater ){ if( start+sum >= K ) return Node(0,1); return Node(start+sum,0); } return Node(start,0); } int left = start; LL tot = 0; if( isLess && isGreater && vis[L][sum][left] ) return dp[L][sum][left]; for(int x = 0; x < 10; x++){ if( !isGreater && (x<low[L-1]) ) continue; if( !isLess && (x>high[L-1]) ) continue; Node t = count( isGreater||(x>low[L-1]),isLess||(x<high[L-1]),L-1,sum+x,left ); tot += t.tot; left = t.left; } Node ret = Node(left,tot); if( isGreater && isLess ) dp[L][sum][start] = ret, vis[L][sum][start] = true; return ret; } int main(){ LL L, R; while( scanf("%lld%lld%d",&L,&R,&K) != EOF ){ get( L-1, low ); get( R+1, high ); memset(vis,0,sizeof(vis)); Node ans = count(false,false,Length,0,0); printf("%lld\n", ans.tot ); } return 0; }
例题5 zoj 2599 Graduated Lexicographical Ordering
将[1,n]中的所有数排序， 第一关键字是 数位和从小到大， 第二关键字是字典序。
求[1,n]中 值K在第几位， 以及第K位的值是多少。
f[ L, sum ] 表示后L位任意，数位和为sum的方案数量。
count( n, sum ) 表示 [1,n] 数位和为sum的方案数量.
对于第一问，首先求出 {1,sumOf(K)-1} 的数量， 然后再统计 数位和为sumOf(k) 且字典序小于K的数量，相加即为结果。 对于统计数位和为 sum(k) 且 字典序小于K的数量， 因为长度不同，我们没法直接求。 我们可以枚举 x 的长度范围 [1, l ength(n) ] 来计算。
\sum { count( k, length, sum(k) ) - f( length-1, sum(K) ) } d
对于第二问也是利用上面的 方式来逐位确定 第K的数的每一位， 细节比较多。
#include<cstdio> #include<cstring> #include<cstdlib> #include<iostream> #include<algorithm> using namespace std; typedef long long LL; const int Length = 19; LL n, K; LL f[20][200]; //后i位任意，数位和为j 的方案总数 LL pow10[20]; int getbit(LL x){ for(int i = Length; i >= 1; i--){ if( x/pow10[i-1] ) return i; } } int SumOf(LL x){ int re = 0; while(x) re+=x%10,x/=10; return re; } int get(int *r,LL x){ for(int i = 0; i < Length; i++) r[i]=x%10,x/=10; } void init(){ pow10[0] = 1; for(int i = 1; i < Length; i++) pow10[i]=pow10[i-1]*10; memset(f,0,sizeof(f)); f[0][0] = 1; for(int i = 1; i <= Length; i++){ for(int j = 0; j < 200; j++){ for(int x = 0; x<10 && x<=j; x++) f[i][j] += f[i-1][j-x]; } } } LL count(bool less, int *r, int L, int sum, int goal){ // [1,x) 数位和为goal的数量 if( L == 0 ) return less && (sum==goal); if( less ) return f[L][goal-sum]; LL res = 0; for(int x = 0; x < 10; x++){ if( !less && (x>r[L-1]) ) continue; if( sum+x > goal ) continue; res += count(less||(x<r[L-1]),r,L-1,sum+x,goal); } return res; } LL Count(LL A, int L, int sum){ // 所有长度为L,数位和为sum, 且字典序小于A的前L位的数量 LL t = A; bool flag = false; int r[20], k = getbit(t), tmp = 0; while( k > L ) t/=10,k--; while( k < L ){ if( t<=n/10 && t*10<=n ) t*=10,k++; else{ t=n; flag=true; break; } } // printf("Count:: t = %I64d\n", t); memset(r,0,sizeof(r)); int len = 0; LL remain = t; while(t) r[len]=t%10,t/=10,tmp+=r[len++]; LL temp = count(false,r,L,0,sum)-f[len-1][sum]; if( (L <= getbit(A)) || (remain==n && flag) ) temp += (tmp==sum); // printf("Count:: temp = %I64d\n", temp ); return temp; } LL Deal_1(){ LL tot = 0; int sum = SumOf(K); int r[20]; get(r,n+1); for(int i = 1; i < sum; i++ ) tot += count(false,r,Length,0,i); //printf("Deal_1:: tot = %I64d\n", tot ); for(int i = 1; i <= getbit(n); i++) tot += Count( K, i, sum ); // puts("--->"); return tot; // printf("%I64d\n", tot ); } LL check(LL A,int x){ if( A <= n/10 ) return min( A*10+x, n ); else return n; } LL Deal_2(){ LL rank = K, A; int sum, r[20]; get(r,n+1); for(sum=1;;sum++){ LL tmp = count(false,r,Length,0,sum); // printf("Deal:: tmp_%d = %I64d, rank = %I64d\n", sum, tmp, rank ); getchar(); getchar(); if( rank - tmp > 0 ) rank -= tmp; else break; } // printf("Deal_2:: rank = %I64d, sum = %d\n", rank, sum); int flag = 0; for(int i = 1; i <= 9; i++){ LL tot = 0; for(int L = 1; L <= getbit(n); L++) tot += Count( i, L, sum ); // printf("Deal_2:: i = %d, tot = %I64d\n", i, tot ); if( tot >= rank ){ flag = 1; if(tot==rank && i==sum) A = i, rank = 0; else A = i-1; break; } } if( !flag ) A = 9; if( !rank ) return A; // printf("First:: A = %I64d\n", A); for(int j,i = 2;i <= getbit(n);i++){ // 逐位确定 LL tmp, x; for(j = 0; j < 10; j++){ //当前位的取值j tmp = 0, x = A; // 计算当前位置取j时，长度相等字典序小于x，且数位和为sum的数量 for(int L = 1; L <= getbit(n); L++) // 这里可能溢出 tmp += Count( x*10+j, L, sum); // printf("Deal_2:: tmp = %I64d, j = %d\n", tmp, j ); if( tmp >= rank ) break; } if( j < 10 ){ if( (rank==tmp) && (SumOf(A*10+j)==sum) ) {A = A*10+j; break;} else A = A*10 + (j-1); } else A = A*10+9; } return A; } int main(){ // freopen("1.in","r",stdin); init(); // 预处理f(i,j) 后i位任意，且数量和为j的总数 while( cin >> n >> K ) // while( scanf("%lld%lld",&n,&K) != EOF) { if( n+K == 0 ) break; LL a = Deal_1(); LL b = Deal_2(); cout << a << " " << b << endl; // printf("%lld %lld", a,b ); } return 0; }