《Algorithms 4th Edition》读书笔记——2.4 优先队列(priority queue)-Ⅲ

2.4.3 堆的定义

数据结构二叉堆能够很好地实现优先队列的基本操作。在二叉堆的数组中，每个元素都要保证大于等于另两个特定位置的元素。相应地，这些位置的元素又至少要大于等于数组中的两个元素，以此类推。如果我们将所有元素画成一棵二叉树，将每个较大元素和两个较小的元素用边连接就可以很容易看出这种结构。

定义。当一棵二叉树的每个节点都大于等于它的两个子节点，他被称为堆有序。

相应地，在堆有序的二叉树中，每个结点都小于它的父亲结点（如果有的话）。从任意结点向上，我们都能得到一列非递减的元素；从任意结点向下，我们都能得到一列非递增的元素。特别地：

命题O：根结点是堆有序的二叉树中最大结点。

证明：根据树的性质归纳可得。

二叉堆表示法

如果我们用指针来表示堆有序的二叉树，那么每个元素都需要三个指针来找到它的上下结点（父亲结点的两个子节点各需要一个）。但下图所示，如果我使用个完全二叉树，表达就会变得特别方便。要画出这样一颗完全二叉树，可以先定下根节点，然后一层一层地由上向下、从左到右，在每个结点的下方连接两个更小的结点，直至要N个结点全部连接完毕。完全二叉树只用数组而不需要指针就可以表示。具体方法就是将二叉树的结点按照层级书序放入数组中，根结点在位置1，它的子节点在位置2 和3 ，而子节点的子节点则分别在位置4、 5、 6 和 7，以此类推。

定义。二叉堆是一组能够用堆有序的完全二叉树排序的元素，并在数组中按照层级存储（不使用数组的第一个位置）。

（简单起见，在下文中我们将二叉堆简称为堆）在一个堆中，位置k的界定啊的父节点的位置为[k / 2(d)]，而它的两个子节点的位置分别为2k和2k+1。这样在不使用指针的情况下我们也可以通过计算数组的索引在树中上下移动：从a[k]向上一层就令k等于k/2，向下一层则令k等于2k或2k+1。

用数组（堆）实现的完全二叉树的结构是很严格的，但它的灵活性已经足以让我们高效地实现优先队列。用它们我们将能实现对数级别的插入元素和删除最大元素的操作。利用在数组中无需指针即可沿树上下移动的便利和以下性质，算法保证了对数复杂度的性能。

命题P。一棵大小为N 的完全二叉树的高度为[lgN(d)]

证明。通过归纳很容易可以证明这一点，且当N达到2的幂时树的高度会加1.

堆的表示如下图：

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