Tarjan算法

【转载】Tarjan算法

 

在有向图G中,如果两个顶点间至少存在一条路径,称两个顶点强连通(strongly connected)。如果有向图G的每两个顶点都强连通,称G是一个强连通图。非强连通图有向图的极大强连通子图,称为强连通分量(strongly connected components)。

下图中,子图{1,2,3,4}为一个强连通分量,因为顶点1,2,3,4两两可达。{5},{6}也分别是两个强连通分量。

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直接根据定义,用双向遍历取交集的方法求强连通分量,时间复杂度为O(N^2+M)。更好的方法是Kosaraju算法或Tarjan算法,两者的时间复杂度都是O(N+M)。本文介绍的是Tarjan算法。

[Tarjan算法]

Tarjan算法是基于对图深度优先搜索的算法,每个强连通分量为搜索树中的一棵子树。搜索时,把当前搜索树中未处理的节点加入一个堆栈,回溯时可以判断栈顶到栈中的节点是否为一个强连通分量。

定义DFN(u)为节点u搜索的次序编号(时间戳),Low(u)为u或u的子树能够追溯到的最早的栈中节点的次序号。由定义可以得出,

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Low(u)=Min

{

    DFN(u),

    Low(v),(u,v)为树枝边,u为v的父节点

    DFN(v),(u,v)为指向栈中节点的后向边(非横叉边)

}

当DFN(u)=Low(u)时,以u为根的搜索子树上所有节点是一个强连通分量。

算法伪代码如下

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tarjan(u)

{

 DFN[u]=Low[u]=++Index                      // 为节点u设定次序编号和Low初值

 Stack.push(u)                              // 将节点u压入栈中

 for each (u, v) in E                       // 枚举每一条边

  if (v is not visted)               // 如果节点v未被访问过

   tarjan(v)                  // 继续向下找

   Low[u] = min(Low[u], Low[v])

  else if (v in S)                   // 如果节点v还在栈内

   Low[u] = min(Low[u], DFN[v])

 if (DFN[u] == Low[u])                      // 如果节点u是强连通分量的根

  repeat

   v = S.pop                  // 将v退栈,为该强连通分量中一个顶点

   print v

  until (u== v)

}

接下来是对算法流程的演示。

从节点1开始DFS,把遍历到的节点加入栈中。搜索到节点u=6时,DFN[6]=LOW[6],找到了一个强连通分量。退栈到u=v为止,{6}为一个强连通分量。

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返回节点5,发现DFN[5]=LOW[5],退栈后{5}为一个强连通分量。

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返回节点3,继续搜索到节点4,把4加入堆栈。发现节点4向节点1有后向边,节点1还在栈中,所以LOW[4]=1。节点6已经出栈,(4,6)是横叉边,返回3,(3,4)为树枝边,所以LOW[3]=LOW[4]=1。

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继续回到节点1,最后访问节点2。访问边(2,4),4还在栈中,所以LOW[2]=DFN[4]=5。返回1后,发现DFN[1]=LOW[1],把栈中节点全部取出,组成一个连通分量{1,3,4,2}。

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至此,算法结束。经过该算法,求出了图中全部的三个强连通分量{1,3,4,2},{5},{6}。

可以发现,运行Tarjan算法的过程中,每个顶点都被访问了一次,且只进出了一次堆栈,每条边也只被访问了一次,所以该算法的时间复杂度为O(N+M)。

求有向图的强连通分量还有一个强有力的算法,为Kosaraju算法。Kosaraju是基于对有向图及其逆图两次DFS的方法,其时间复杂度也是O(N+M)。与Trajan算法相比,Kosaraju算法可能会稍微更直观一些。但是Tarjan只用对原图进行一次DFS,不用建立逆图,更简洁。在实际的测试中,Tarjan算法的运行效率也比Kosaraju算法高30%左右。此外,该Tarjan算法与求无向图的双连通分量(割点、桥)的Tarjan算法也有着很深的联系。学习该Tarjan算法,也有助于深入理解求双连通分量的Tarjan算法,两者可以类比、组合理解。

求有向图的强连通分量的Tarjan算法是以其发明者Robert Tarjan命名的。Robert Tarjan还发明了求双连通分量的Tarjan算法,以及求最近公共祖先的离线Tarjan算法,在此对Tarjan表示崇高的敬意。

附:tarjan算法的C++程序

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void tarjan(int i)

{

 int j;

 DFN[i]=LOW[i]=++Dindex;

 instack[i]=true;

 Stap[++Stop]=i;

 for (edge *e=V[i];e;e=e->next)

 {

  j=e->t;

  if (!DFN[j])

  {

   tarjan(j);

   if (LOW[j]<LOW[i])

    LOW[i]=LOW[j];

  }

  else if (instack[j] && DFN[j]<LOW[i])

   LOW[i]=DFN[j];

 }

 if (DFN[i]==LOW[i])

 {

  Bcnt++;

  do

  {

   j=Stap[Stop--];

   instack[j]=false;

   Belong[j]=Bcnt;

  }

  while (j!=i);

 }

}

void solve()

{

 int i;

 Stop=Bcnt=Dindex=0;

 memset(DFN,0,sizeof(DFN));

 for (i=1;i<=N;i++)

  if (!DFN[i])

   tarjan(i);

}

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