次短路径与次小生成树问题的简单解法

转自https://www.byvoid.com/blog/2-sp-mst  posted by byvoid

[次短路径]

次短路径可以看作是k短路径问题的一种特殊情况，求k短路径有Yen算法等较为复杂的方法，对于次短路径，可以有更为简易的方法。下面介绍一种求两个顶点之间次短路径的解法。

我们要对一个有向赋权图(无向图每条边可以看作两条相反的有向边)的顶点S到T之间求次短路径，首先应求出S的单源最短路径。遍历有向图，标记出可以在最短路径上的边，加入集合K。然后枚举删除集合K中每条边，求从S到T的最短路径，记录每次求出的路径长度值，其最小值就是次短路径的长度。

在这里我们以为次短路径长度可以等于最短路径长度，如果想等，也可以看作是从S到T有不止一条最短路径。如果我们规定求从S到T大于最短路径长度的次短路径，则答案就是每次删边后大于原最短路径的S到T的最短路径长度的最小值。

用Dijkstra+堆求单源最短路径，则每次求最短路径时间复杂度为O(Nlog(N+M) + M)，所以总的时间复杂度为O(NM*log(N+M) + M^2)。该估计是较为悲观的，因为一般来说，在最短路径上的边的条数要远远小于M，所以实际效果要比预想的好。

[次小生成树]

类比上述次短路径求法，很容易想到一个“枚举删除最小生成树上的每条边，再求最小生成树”的直观解法。如果用Prim+堆，每次最小生成树时间复杂度为O(Nlog(N+M) + M)，枚举删除有O(N)条边，时间复杂度就是O(N^2log(N+M) + N*M)，当图很稠密时，接近O(N^3)。这种方法简易直观，但我们有一个更简单，而且效率更高的O(N^2+M)的解法，下面介绍这种方法。

首先求出原图最小生成树，记录权值之和为MinST。枚举添加每条不在最小生成树上的边(u,v)，加上以后一定会形成一个环。找到环上权值第二大的边(即除了(u,v)以外的权值最大的边)，把它删掉，计算当前生成树的权值之和。取所有枚举修改的生成树权值之和的最小值，就是次小生成树。

具体实现时，更简单的方法是从每个节点i遍历整个最小生成树，定义F[j]为从i到j的路径上最大边的权值。遍历图求出F[j]的值，然后对于添加每条不在最小生成树中的边(i,j)，新的生成树权值之和就是MinST + w(i,j) - F[j]，记录其最小值，则为次小生成树。

该算法的时间复杂度为O(N^2 + M)。由于只用求一次最小生成树，可以用最简单的Prim，时间复杂度为O(N^2)。算法的瓶颈不在求最小生成树，而在O(N^2+M)的枚举加边修改，所以用更好的最小生成树算法是没有必要的。