数学知识——欧拉函数、快速幂、扩展欧几里得算法
欧拉函数
- 欧拉函数定义为 ϕ ( n ) = 1 − n 中 与 n 互 质 的 个 数 \phi(n)=1-n中与n互质的个数 ϕ(n)=1−n中与n互质的个数，互质就是最大公约数是1。
- 欧拉函数求解公式：
将n分解质因数： n = p 1 a 1 + p 2 a 2 + . . . + p k a k n=p_1^{a1}+p_2^{a2}+...+p_k^{ak} n=p1a1+p2a2+...+pkak,
则 ϕ ( n ) = n ∗ ( 1 − 1 p 1 ) ∗ ( 1 − 1 p 2 ) ∗ . . . . . ∗ ( 1 − 1 p k ) \phi(n)=n*(1-\frac{1}{p_1})*(1-\frac{1}{p_2})*.....*(1-\frac{1}{p_k}) ϕ(n)=n∗(1−p11)∗(1−p21)∗.....∗(1−pk1) - 证明：略
模板题代码
#include筛法求欧拉函数
筛法求欧拉函数，是在质数的线性筛法基础上进行改进的，
代码：
#include欧拉定理：如果a与n互质，则 a ϕ ( n ) = 1 ( m o d n ) a^{\phi(n)}=1(mod \ n) aϕ(n)=1(mod n)
如果p为质数，则 a p − 1 = 1 ( m o d p ) a^{p-1}=1(mod\ p) ap−1=1(mod p).
快速幂
快速幂可以在O(logk)的时间复杂度内求出 a k m o d p a^k mod \ p akmod p
快速幂的步骤:
- 预处理 a 2 0 m o d p 、 a 2 1 m o d p . . . . . . . . . a 2 l o g k m o d p a^{2^0}mod\ p、a^{2^1}mod \ p.........a^{2^{logk}}mod\ p a20mod p、a21mod p.........a2logkmod p
- 将k按二进制展开，取是1的位，进行处理。
#include快速幂求逆元
逆元定义：若整数 b，m 互质，并且对于任意的整数 a，如果满足 b|a，则存在一个整数 x，使得 a/b≡a×x(modm)，则称 x 为 b 的模 m 乘法逆元，记为 b − 1 ( m o d m ) b^{−1}(mod\ m) b−1(mod m)。
b 存在乘法逆元的充要条件是 b 与模数 m 互质。当模数 m 为质数时， b m − 2 b^{m−2} bm−2 即为 b 的乘法逆元。
逆元的作用就是将除法转换成乘法。
#include扩展欧几里得算法
裴蜀定理：若a，b是整数，且gcd(a,b)=d，那么对于任意的整数x，y，ax+by=m中的m一定是d的倍数。（特别地，如果a、b是整数，那么一定存在整数x、y使得ax+by=gcd(a,b)。）
在欧几里得算法中：
int gcd(int a,int b){
if(!b){
return a;
}
return gcd(b,a%b);
}
就是说当b=0时，a中存的就是最大公约数，则当b=0时，一定有： a × 1 + b × 0 = g c d ( a , b ) a×1+b×0=gcd(a,b) a×1+b×0=gcd(a,b),此时x = 1，y = 0;
而当b!=0时：
假设之前有 a × x 1 + b × y 1 = g c d a×x_1+b×y_1=gcd a×x1+b×y1=gcd
下一步计算gcd(b,a%b)时有 b × x 2 + ( a % b ) × y 2 = g c d b×x_2+(a\%b)×y_2=gcd b×x2+(a%b)×y2=gcd
所以， a × x 1 + b × y 1 = b × x 2 + （ a % b ) × y 2 a×x_1+b×y_1 = b×x_2+（a\%b)×y_2 a×x1+b×y1=b×x2+（a%b)×y2,a%b = a-(a/b)*b;
a x 1 + b y 1 = b x 2 + a y 2 − ( a / b ) ∗ b y 2 ax_1+by_1=bx_2+ay_2-(a/b)*by_2 ax1+by1=bx2+ay2−(a/b)∗by2
所以， x 1 = y 2 , y 1 = x 2 − ( a / b ) ∗ y 2 x_1=y_2,y1=x2-(a/b)*y_2 x1=y2,y1=x2−(a/b)∗y2
扩展欧几里得算法如下：
int exgcd(int a,int b,int& x,int& y){
if(!b){
x = 1;
y = 1;
return a;
}
int d = exgcd(b,a%b,x,y);
int temp = x;
x = y;
y = temp - (a/b)*y;
return d;
}
线性同余方程
给定 n 组数据 a i , b i , m i a_i,b_i,m_i ai,bi,mi，对于每组数求出一个 x i x_i xi，使其满足 a i × x i ≡ b i ( m o d m i ) a_i×x_i≡b_i(mod\ m_i) ai×xi≡bi(mod mi)
也就是 a x + m y = b ax+my=b ax+my=b,可以用扩展欧几里得算法求x和y，只有b是gcd(a,m)的倍数时有解，最后x扩大(b/d)就是解。
#include