数学基础 -- 梯度下降算法

梯度下降算法

梯度下降算法（Gradient Descent）是一种优化算法，主要用于寻找函数的局部最小值或全局最小值。它广泛应用于机器学习、深度学习以及统计学中，用于最小化损失函数或误差函数。

梯度下降的基本概念

梯度下降算法通过以下步骤工作：

1. 初始化参数：随机初始化模型的参数（如权重和偏差），也可以用特定的策略初始化。
2. 计算损失：对当前模型输出和实际目标值计算损失（如均方误差、交叉熵等）。
3. 计算梯度：计算损失函数对每个参数的偏导数，这个偏导数称为梯度。梯度指示了损失函数在各个参数方向上增加或减少的趋势。
4. 更新参数：使用梯度更新模型参数，更新的公式为：
   $$\theta =\theta -\eta \cdot \nabla J(\theta )$$
   其中，$\theta$ 是模型参数，$\eta$ 是学习率，$\nabla J(\theta )$ 是损失函数对参数 $\theta$ 的梯度。
5. 重复迭代：重复步骤 2-4，直到损失函数的值不再显著变化或达到预设的迭代次数。

梯度下降的几种变体

1. 批量梯度下降（Batch Gradient Descent）：

   • 在每次更新参数时使用整个训练集计算梯度。
   • 优点：更新稳定。
   • 缺点：当数据集很大时，每次迭代计算量很大。

2. 随机梯度下降（Stochastic Gradient Descent, SGD）：

   • 在每次更新参数时只使用一个样本计算梯度。
   • 优点：计算速度快，可以较快地逃离局部最小值。
   • 缺点：由于每次只使用一个样本，更新过程可能不稳定，容易产生震荡。

3. 小批量梯度下降（Mini-batch Gradient Descent）：

   • 在每次更新参数时使用一个小批量（mini-batch）的样本集计算梯度。
   • 结合了批量梯度下降和随机梯度下降的优点，既保持了一定的计算效率，又使更新过程较为平稳。

学习率的选择

学习率 $\eta$ 是梯度下降算法的一个重要超参数，它控制了每次参数更新的步长。选择合适的学习率至关重要：

• 学习率太大：可能会导致算法发散，无法收敛到最优解。
• 学习率太小：算法收敛速度太慢，训练时间过长。

为了解决这个问题，常用的方法有学习率衰减、自适应学习率（如 AdaGrad、RMSprop）等。

梯度下降的优缺点

优点：

• 简单易实现。
• 在处理大规模数据集时效果较好，尤其是使用小批量梯度下降时。

缺点：

• 可能陷入局部最小值，特别是在非凸优化问题中。
• 对学习率敏感，选择不当可能导致训练失败。
• 当损失函数的曲面较复杂（如存在鞍点）时，梯度下降可能会收敛得很慢。

应用场景

梯度下降广泛应用于机器学习的各个方面，尤其是在神经网络的权重优化、线性回归、逻辑回归、支持向量机等模型的训练中。