马尔可夫决策过程（Markov decision process，MDP）

马尔可夫决策过程(MDP)在机器学习中应用

马尔可夫决策过程（$MarkovDecisionProcess,MDP$）在机器学习中有广泛的应用，尤其是在强化学习领域。MDP为建模决策问题提供了一个数学框架，帮助算法在不确定环境中做出序列决策。引用$MDP$的方式通常涉及以下几个方面：

1. 状态空间 ($StateSpace$): $MDP$状态空间表示系统可能处于的所有不同状态。在机器学习中，状态通常对应于某种表示环境或问题的特征向量。

2. 动作空间 ($ActionSpace$): 动作空间代表在给定状态下可以采取的所有可能的行动。在机器学习任务中，动作决定了系统从一个状态转移到另一个状态。

3. 状态转移函数 ($TransitionFunction$): 这是一个概率分布，表示在执行某一特定动作后，系统从一个状态转移到另一个状态的概率。这个函数是MDP的核心，用来描述系统的动态行为。

4. 奖励函数 ($RewardFunction$): 奖励函数定义了在给定状态采取某一动作所获得的即时回报。它是强化学习中用来评估动作好坏的主要依据。

5. 折扣因子 ($DiscountFactor$): 在$MDP$中，折扣因子用于控制未来奖励对当前决策的影响程度。它帮助算法更好地平衡短期与长期收益。

在机器学习中的引用

**在强化学习算法（如Q学习、深度Q网络、策略梯度等）中，$MDP$被用作基础框架来定义和解决问题。**例如，Q学习算法通过在MDP定义的状态空间和动作空间中找到最优策略来最大化累积奖励。深度强化学习模型则使用神经网络来逼近Q值或策略函数，从而解决更复杂的MDP问题。

示例引用：

在强化学习任务中，我们通过定义一个马尔可夫决策过程(MDP)来建模问题。MDP包括一个状态空间($S$)，一个动作空间($A$)，一个状态转移函数($P$)，以及一个奖励函数 ($R$)。通过最大化累积奖励 ($G_t=$ ${\sum }_{k=0}^{\infty }{\gamma }^k{R}_{t+k+1}$)，算法能够学习最优策略。

这种引用方式通常出现在描述问题建模、算法设计或理论分析部分，旨在说明如何利用MDP结构化地解决复杂的序列决策问题。

实例

场景：机器人导航

假设我们正在开发一个机器人导航系统，目标是让机器人从起点移动到终点，同时避免障碍物。这个问题可以通过$MDP$来建模和求解。

MDP的定义：

1. 状态空间 (S): 机器人所在的每个可能位置都代表一个状态。假设机器人在一个 $5\times 5$的网格上移动，那么状态空间 ($S$) 可以定义为网格中的所有位置 ($x,y$ )，其中$x,y\in \{1,2,3,4,5\}$。

2. 动作空间 (A): 机器人可以在每个状态下选择的动作包括：向上 ($Up$)、向下 ($Down$)、向左 ($Left$)、向右 ($Right$)。

3. 状态转移函数 ($P\left(s^{\prime }\mid s,a\right)$): 状态转移函数表示机器人在状态 ($s$) 执行动作 ($a$) 后，以一定概率 ($P$) 转移到下一个状态 ($s^{\prime }$)。例如，如果机器人选择向右移动，则有$90$%的概率转移到右边的格子，$10$%的概率由于滑动等因素，可能转移到其他相邻格子。

4. 奖励函数 ($R(s,a)$）: 在这个导航任务中，奖励函数可以设计为：机器人到达终点状态时获得正奖励 ($+10$)，撞到障碍物时获得负奖励 ($-10$)，其余情况下每次移动获得小的负奖励 ($-1$)，以鼓励机器人尽快找到路径。

5. 折扣因子 ($\gamma$): 折扣因子通常设置为一个介于$0$到$1$之间的值，用来表示未来奖励的权重。假设在这个例子中，($\gamma$)，意味着机器人更关心当前的行动效果，但未来的收益也不能完全忽略。

引用示例：

为了让机器人学会自主导航，我们将该问题建模为一个马尔可夫决策过程 ($MDP$)。状态空间 ($S$$)表示机器人的可能位置，动作空间($A$)包括上下左右四种移动方式。通过定义状态转移函数($P\left(s^{\prime} \mid s, a\right)$)和奖励函数($R(s, a)$)，我们使用Q学习算法来计算最优策略，使机器人能够以最短路径到达目标位置，同时避免碰撞障碍物。该模型采用了折扣因子($\gamma$) 来平衡即时奖励与长期收益。

在此基础上更具体的描述，并给出每一步的推断计算过程

场景描述：3x3网格中的机器人导航

目标：让机器人从起点$（1,1）$移动到终点$（3,3）$，同时避开障碍物$（2,2）$。

MDP的定义

1. 状态空间 ($S$)：

   • 网格中的每一个位置都是一个状态。状态集为：
     $S=\{(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3)\}$

2. 动作空间 ($A$)：

   • 机器人在每个状态下可以采取的动作包括四个方向：
     $A = {\text{上（Up）}, \text{下（Down）}, \text{左（Left）}, \text{右（Right）}}
     $

3. 状态转移函数 ( $P(s^{\prime }|s,a)$ )：

   • 在本例中，我们假设状态转移是确定性的，即执行某一动作后，机器人总是移动到预期的下一个状态，除非碰到边界或障碍物。

4. 奖励函数 ( $R(s,a)$ )：

   • 奖励设计如下：
     • 到达终点$（3,3）$时，获得奖励 ($ +10 $)。
     • 移动到障碍物$（2,2）$时，获得惩罚 ( $-10$ )。
     • 其他每次合法移动获得惩罚 ( $-1 $)（鼓励机器人尽快到达终点）。

5. 折扣因子 ($ \gamma $)：

   • 设置为 ( $\gamma =0.9$ )，用于平衡即时奖励与未来奖励的重要性。

强化学习算法：Q-Learning

Q学习是一种无模型的强化学习算法，通过学习一个动作-价值函数 ($ Q(s, a)$ ) 来估计在状态 ($ s$ ) 下采取动作 ( $a$ ) 的长期收益。算法的目标是学习最优策略，使得在每个状态下选择的动作都能最大化累积奖励。

Q学习更新规则：
$Q(s,a)\leftarrow Q(s,a)+\alpha \left[R(s,a)+\gamma {\max }_{a^{\prime }}Q(s^{\prime },a^{\prime })-Q(s,a)\right]$

上面这个公式为$Bellman$方程

其中：

• $\alpha $ 是学习率，控制更新步长。
• $R(s,a)$ 是执行动作 ( $a$ ) 后获得的即时奖励。
• $s’ $是执行动作 ( $a$ ) 后到达的下一个状态。
• ${\max }_{a^{\prime }}Q(s^{\prime },a^{\prime })$ 是在下一个状态 ( $s^{\prime }$ ) 下，所有可能动作的最大Q值。

参数设置：

• 学习率 ($ \alpha = 0.5 $)
• 折扣因子 ($ \gamma = 0.9$ )
• 初始化 ( $Q(s,a)=0$ ) 对所有 ($ s \in S $) 和 ( $a\in A$ )

具体实例与推断计算过程

我们将通过几个训练回合（$episodes$）来展示Q学习算法的工作过程。

回合1（$Episode1$）

Step 1：

• 当前状态：$s=(1,1)$
• 选择动作：假设机器人随机选择 右（$Right$）。
• 执行动作：从 $(1,1) $向右移动到$ (1,2)$ 。
• 获得奖励：$ R = -1$ （普通移动）。
• 下一个状态：$ s’ = (1,2) $
• Q值更新：
  $Q((1,1),\text{Right})\leftarrow 0+0.5\times [-1+0.9\times {\max }_{a^{\prime }}Q((1,2),a^{\prime })-0]$
  • 由于所有 $Q((1,2), a’) = 0 $，则：
    $Q((1,1),\text{Right})\leftarrow 0+0.5\times [-1+0-0]=0+0.5\times (-1)=-0.5$

这里的0是因为我们的链表并未记录$Q((1,2),a^{\prime })$的值，需要等后面表更新后才会有值，请继续往下看

Step 2：

• 当前状态：$s=(1,2)$
• 选择动作：假设机器人随机选择 下（$Down$）。
• 执行动作：从 $(1,2) $向下移动到 $ (2,2) $。
• 获得奖励：$R = -10 $（撞到障碍物）。
• 下一个状态： $s’ = (2,2) $（障碍物，假设此时回合结束，并重置到起点）。
• Q值更新：
  $Q((1,2),\text{Down})\leftarrow 0+0.5\times [-10+0.9\times {\max }_{a^{\prime }}Q((2,2),a^{\prime })-0]$
  • $(2,2) $是终止状态，假设所有 $ Q((2,2), a’) = 0$ ，则：
    $Q((1,2),\text{Down})\leftarrow 0+0.5\times [-10+0-0]=0+0.5\times (-10)=-5.0$

回合1结束。Q表部分更新如下：

状态	动作	Q值
$(1,1)$	$Right$	$-0.5$
$(1,2)$	$Down$	$-5.0$
其他状态	其他动作	$0$

回合2（$Episode2$）

Step 1：

• 当前状态：$s=(1,1)$
• 选择动作：假设机器人选择 下（$Down$）。
• 执行动作：从 $(1,1)$ 向下移动到 $(2,1)$ 。
• 获得奖励：$ R = -1$ （普通移动）。
• 下一个状态：$ s’ = (2,1)$
• Q值更新：
  $Q((1,1),\text{Down})\leftarrow 0+0.5\times [-1+0.9\times {\max }_{a^{\prime }}Q((2,1),a^{\prime })-0]$
  • 由于所有 $Q((2,1),a^{\prime })=0$ ，则：
    $Q((1,1),\text{Down})\leftarrow 0+0.5\times [-1+0-0]=0+0.5\times (-1)=-0.5$

Step 2：

• 当前状态：$ s = (2,1)$
• 选择动作：假设机器人随机选择 右（$Right$）。
• 执行动作：从 $(2,1) $ 向右移动到 $(2,2)$ 。
• 获得奖励：$R = -10 $（撞到障碍物）。
• 下一个状态： $s^{\prime }=(2,2)$ （障碍物，回合结束，重置到起点）。
• Q值更新：
  $Q((2,1),\text{Right})\leftarrow 0+0.5\times [-10+0.9\times {\max }_{a^{\prime }}Q((2,2),a^{\prime })-0]$
  • $(2,2)$ 是终止状态，假设所有 $Q((2,2), a’) = 0 $，则：
    $Q((2,1),\text{Right})\leftarrow 0+0.5\times [-10+0-0]=0+0.5\times (-10)=-5.0$

回合2结束。Q表部分更新如下：

状态	动作	Q值
$(1,1)$	$Right$	$-0.5$
$(1,1)$	$Down$	$-0.5$
$(1,2)$	$Down$	$-5.0$
$(2,1)$	$Right$	$-5.0$
其他状态	其他动作	$0$

回合3（$Episode3$）

Step 1：

• 当前状态：$ s = (1,1)$
• 选择动作：为了展示Q值更新，我们选择 右（$Right$）。
• 执行动作：从 $ (1,1) $向右移动到 $(1,2) $。
• 获得奖励：$ R = -1$ （普通移动）。
• 下一个状态：$ s’ = (1,2) $
• Q值更新：
  $Q((1,1),\text{Right})\leftarrow -0.5+0.5\times [-1+0.9\times {\max }_{a^{\prime }}Q((1,2),a^{\prime })-(-0.5)]$
  • 首先计算内部括号的值：
    $-1+0.9\times {\max }_{a^{\prime }}Q((1,2),a^{\prime })-(-0.5)$
    • 现有 $ Q((1,2), a’)$ ： $Q((1,2), \text{Down}) = -5.0 $，其他动作（$Up, Left, Right$）尚未更新，假设为 ( $0$ )。
    • 因此：
      ${\max }_{a^{\prime }}Q((1,2),a^{\prime })=\max (-5.0,0,0,0)=0$
    • 将数值代入：
      $-1+0.9\times 0-(-0.5)=-1+0+0.5=-0.5$
  • 完整更新：
    $Q((1,1),\text{Right})\leftarrow -0.5+0.5\times (-0.5)=-0.5-0.25=-0.75$

Step 2：

• 当前状态：$s=(1,2)$
• 选择动作：为了继续展示，我们选择 左（$Left$）。
• 执行动作：从 $(1,2) $向左移动到 $ (1,1) $。
• 获得奖励：$R=-1$ （普通移动）。
• 下一个状态： $s^{\prime }=(1,1)$
• Q值更新：
  $Q((1,2),\text{Left})\leftarrow 0+0.5\times [-1+0.9\times {\max }_{a^{\prime }}Q((1,1),a^{\prime })-0]$
  • 现有 $ Q((1,1), a’)$ ： $Q((1,1), \text{Right}) = -0.75 $，$Q((1,1), \text{Down}) = -0.5 $，其他动作（$Up, Left$）尚未更新，假设为( $0 $)。
  • 因此：
    ${\max }_{a^{\prime }}Q((1,1),a^{\prime })=\max (-0.75,-0.5,0,0)=0$
  • 将数值代入：
    $Q((1,2),\text{Left})\leftarrow 0+0.5\times [-1+0.9\times 0-0]=0+0.5\times (-1)=-0.5$

Step 3：

• 当前状态：$s=(1,1)$
• 选择动作：为了展示进一步的更新，我们选择 下（$Down$）。
• 执行动作：从 $ (1,1) $向下移动到 $ (2,1) $。
• 获得奖励：$R=-1$（普通移动）。
• 下一个状态：$s^{\prime }=(2,1)$
• Q值更新：
  $Q((1,1),\text{Down})\leftarrow -0.5+0.5\times [-1+0.9\times {\max }_{a^{\prime }}Q((2,1),a^{\prime })-(-0.5)]$
  • 计算内部括号的值：
    $-1+0.9\times {\max }_{a^{\prime }}Q((2,1),a^{\prime })-(-0.5)$
    • 现有 $Q((2,1), a’) $： $Q((2,1),\text{Right})=-5.0$ ，其他动作（$Up,Down,Left$）尚未更新，假设为 ( $0$ )。
    • 因此：
      ${\max }_{a^{\prime }}Q((2,1),a^{\prime })=\max (-5.0,0,0,0)=0$
    • 将数值代入：
      $-1+0.9\times 0-(-0.5)=-1+0+0.5=-0.5$
  • 完整更新：
    $Q((1,1),\text{Down})\leftarrow -0.5+0.5\times (-0.5)=-0.5-0.25=-0.75$

回合3结束。Q表部分更新如下：

状态	动作	Q值
$(1,1)$	$Right$	$-0.75$
$(1,1)$	$Down$	$-0.75$
$(1,2)$	$Down$	$-5.0$
$(1,2)$	$Left$	$-0.5$
$(2,1)$	$Right$	$-5.0$
其他状态	其他动作	$0$

总结

通过上述多个回合的训练，Q学习算法逐步更新了各个状态-动作对的Q值。随着训练的进行，Q值将逐渐逼近真实的动作价值，从而指导机器人选择最优路径到达目标，同时避开障碍物。

在实际应用中，随着更多回合的训练，Q表中的Q值会不断优化。例如，机器人可能学会以下策略：

1. 从 $(1,1)$ 向右移动到 $(1,2)$ ，然后向下到 $(1,3)$，再向下到 $ (2,3) $，最后向下到 $ (3,3) $，以避开障碍物 $(2,2) $。
2. 从 $(1,1) $向下移动到 $ (2,1) $，然后向下到 $ (3,1) $，再向右到 $ (3,2) $，最后向右到 $ (3,3) $。

通过这种方式，$MDP$框架结合强化学习算法（如Q学习）能够有效地帮助机器人在复杂环境中学习和优化决策策略。

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Q-learning：强化学习中的基础算法

Q-learning是强化学习（Reinforcement Learning）领域中的一种经典算法，它通过不断地与环境交互，学习在不同状态下采取何种行动才能获得最大的累计奖励。

Q-learning 的优点

• 模型无关：不需要对环境进行建模。
• 离线学习：可以利用历史数据进行学习。
• 收敛性：在一定的条件下，Q-learning 能够收敛到最优策略。

Q-learning 的局限性

• 维度灾难：当状态空间和动作空间非常大时，Q值表的存储和更新会变得非常困难。
• 不适用于连续状态和动作空间：对于连续的状态和动作空间，需要采用函数逼近的方法来表示Q值函数。

深度Q网络 (Deep Q-Network, DQN)

为了解决Q-learning 在高维状态空间中的问题，DeepMind 提出了深度Q网络。DQN 将神经网络与Q-learning 结合起来，用神经网络来逼近Q值函数，从而能够处理高维的输入。

总结

Q-learning 是强化学习领域的基础算法，它为后续的强化学习算法奠定了基础。虽然Q-learning 存在一些局限性，但是通过与其他技术的结合，如深度学习，Q-learning 仍然在很多领域得到了广泛应用，例如游戏、机器人控制等。

• ε-greedy 策略：一种平衡探索和利用的策略。
• Bellman 方程：动态规划中的一个重要方程，用于计算最优值函数。
• 深度Q网络 (DQN)：如何将神经网络应用于Q-learning。
• 其他强化学习算法：如SARSA、Policy Gradient等。

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代码实现

问题描述

假设我们有一个简单的迷宫，智能体（agent）的目标是从起点到达终点。迷宫中的每个格子都是一个状态，智能体可以选择上下左右四个方向移动。当智能体到达终点时，会获得一个正的奖励，其他状态的奖励为0。

Q-Learning代码实现

import numpy as np

# 定义迷宫
maze = np.array([
    [0, 0, 1, 0],
    [0, 0, 0, 0],
    [0, 0, 1, 0],
    [0, 1, 0, 0]
])
# 1表示墙壁，0表示可通行
goal = (3, 3)

# 定义动作
actions = ['up', 'down', 'left', 'right']

# 超参数设置
alpha = 0.1  # 学习率
gamma = 0.9  # 折扣因子
epsilon = 0.1  # 探索率

# 初始化Q表
Q = np.zeros((maze.shape[0], maze.shape[1], len(actions)))

def choose_action(state):
    if np.random.uniform(0, 1) < epsilon:
        action_index = np.random.choice(len(actions))
    else:
        action_index = np.argmax(Q[state])
    return action_index

def take_action(state, action_index):
    i, j = state
    if actions[action_index] == 'up':
        next_i = max(i - 1, 0)
        next_j = j
    # ... 其他动作的处理
    if maze[next_i, next_j] == 1:  # 如果撞墙，则留在原地
        next_i, next_j = i, j
    return (next_i, next_j)

def update_q(state, action, reward, next_state):
    Q[state][action] += alpha * (reward + gamma * np.max(Q[next_state]) - Q[state][action])

# 训练过程
num_episodes = 1000
for episode in range(num_episodes):
    state = (0, 0)  # 初始化状态
    while state != goal:
        action_index = choose_action(state)
        next_state = take_action(state, action_index)
        reward = 1 if next_state == goal else 0
        update_q(state, action_index, reward, next_state)
        state = next_state

# 使用训练好的Q表进行控制
state = (0, 0)
while state != goal:
    action_index = np.argmax(Q[state])
    state = take_action(state, action_index)
    print(state)

代码解释

• 迷宫定义： 用一个二维数组表示迷宫，1表示墙壁，0表示可通行。
• 动作定义： 定义了四个可能的动作：上、下、左、右。
• Q表初始化： 初始化一个三维数组，用来存储在不同状态下执行不同动作的Q值。
• 选择动作： 根据ε-greedy策略选择动作，在探索和利用之间平衡。
• 执行动作： 根据选择的动作更新智能体的位置，并判断是否撞墙。
• 更新Q值： 根据Bellman方程更新Q值。
• 训练过程： 重复进行多个episode，直到智能体学会找到从起点到终点的最优路径。

运行结果

运行这段代码后，你将会看到智能体逐渐学会从起点到达终点的最优路径。

注意

• 简化版本： 上述代码是一个简化的版本，没有考虑连续状态和动作空间，也没有使用神经网络来逼近Q值函数。
• 改进方向： 可以尝试使用更复杂的迷宫、增加噪声、或者使用深度Q网络来解决更复杂的问题。

想了解更多吗？

• 可视化： 可以使用可视化工具将迷宫和智能体的行动轨迹展示出来，更直观地观察学习过程。
• 其他环境： 可以将Q-learning应用到其他环境中，比如游戏、机器人控制等。
• 深度强化学习： 可以将Q-learning与深度学习结合起来，解决更复杂的问题。

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关于作者

大家好，我是孙成，新加坡国立大学2024级机器人学研究生

喜欢动手做一些有意思的东西（虽然是个手残党…）

喜欢尝试，不怕丢脸

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