1.9 向量投影

向量投影

力的正交分解就是投影,高中时一般向坐标轴投影,有时也需计算力在任意方向分量,即力在这个方向的投影,可通过内积计算。但有时需要计算力在某个平面内的分量,即力在平面内的投影,或者计算力垂直于某平面的分量,都可通过投影解决。

几何上,也经常涉及投影,如点到直线或平面的距离,此距离是点到直线或平面的最短距离,求此距离可通过投影解决。

再举个例子,为什么称为“投影”,投影就是物体在太阳光的照射下在地面形成的影子。当太阳光与地面垂直时是正投影,这就是线性代数中研究的投影。当物体与地面垂直时,影子长度(投影)为0。中国古时利用投影来计时,发明了日晷。希望读者根据物理学和几何学,获得投影的几何图像。

当转向高维空间时,投影不局限于低维子空间,可投向任意维度的子空间,所以需要代数方法,但理解需要几何图像。向量在子空间的投影,本质上是向量的正交分解,分解为两个向量:一个向量位于子空间,另一个位于其正交补空间。

子空间 S 1 S_1 S1无关组 V = ( v 1 , ⋯   , v n ) V = (\mathbf{v_1},\cdots,\mathbf{v_n}) V=(v1,,vn) 张成,如何求任意向量 v \mathbf{v} v 在子空间的投影向量呢?这是线性代数基本问题之一,也是理解线性方程的核心之一,必须十分重视。

投影向量位于子空间 S 1 S_1 S1 内,故其可表示为生成向量的线性组合,这是解决问题的关键一步,令投影向量为 v ⊥ = α 1 v 1 + ⋯ + α n v n \mathbf{v}^{\bot} = \alpha_1\mathbf{v_1}+\cdots+\alpha_n\mathbf{v_n} v=α1v1++αnvn ,只要算出表示系数组就可得到投影向量。另一正交分量 v − = v − v ⊥ \mathbf{v}^{-} = \mathbf{v}-\mathbf{v}^{\bot} v=vv 位于正交补空间 S 1 ⊥ S_1^{\bot} S1 ,垂直子空间 S 1 S_1 S1 内任意向量。故两个分向量垂直,内积为零!这是关键第二步。
0 = ( v ⊥ , v − ) = ( v ⊥ , v − v ⊥ ) = ( v ⊥ , v ) − ( v ⊥ , v ⊥ ) 得 : ( v ⊥ , v ) = ( v ⊥ , v ⊥ ) 得 : ( α 1 v 1 + ⋯ + α n v n , v ) = ( α 1 v 1 + ⋯ + α n v n , α 1 v 1 + ⋯ + α n v n ) = ∑ i j α i α j ( v i , v j ) 0 = (\mathbf{v}^{\bot}, \mathbf{v}^{-}) = (\mathbf{v}^{\bot}, \mathbf{v}-\mathbf{v}^{\bot}) = (\mathbf{v}^{\bot}, \mathbf{v}) - (\mathbf{v}^{\bot}, \mathbf{v}^{\bot})\\ 得:(\mathbf{v}^{\bot}, \mathbf{v}) = (\mathbf{v}^{\bot}, \mathbf{v}^{\bot}) \\ 得:(\alpha_1\mathbf{v_1}+\cdots+\alpha_n\mathbf{v_n}, \mathbf{v}) =(\alpha_1\mathbf{v_1}+\cdots+\alpha_n\mathbf{v_n},\alpha_1\mathbf{v_1}+\cdots+\alpha_n\mathbf{v_n})=\sum_{ij}\alpha_i\alpha_j(\mathbf{v_i},\mathbf{v_j}) 0=(v,v)=(v,vv)=(v,v)(v,v)(v,v)=(v,v)(α1v1++αnvn,v)=(α1v1++αnvn,α1v1++αnvn)=ijαiαj(vi,vj)

根据正交分解的唯一性, v ⊥ \mathbf{v}^{\bot} v 是唯一的,根据无关组表示向量的唯一性,表示系数组存在且唯一。无关组是任意向量时,利用向量理论很难表示出表示系数,必须用矩阵理论才能方便表示。

无关组是标准正交基时,却很容易求出表示系数。 根据标准正交基性质: ( v i , v j ) = 0 , ∀ i ≠ j ; = 1 , ∀ i = j (\mathbf{v_i},\mathbf{v_j})=0,\forall i\ne j; \quad =1 ,\forall i= j (vi,vj)=0,i=j;=1i=j 。代入上式,
( α 1 v 1 + ⋯ + α n v n , v ) = α 1 ( v 1 , v ) + ⋯ + α n ( v n , v ) = α 1 2 + ⋯ + α n 2 (\alpha_1\mathbf{v_1}+\cdots+\alpha_n\mathbf{v_n}, \mathbf{v}) = \alpha_1(\mathbf{v_1}, \mathbf{v})+\cdots+\alpha_n(\mathbf{v_n}, \mathbf{v}) = \alpha_1^2+\cdots+\alpha_n^2 (α1v1++αnvn,v)=α1(v1,v)++αn(vn,v)=α12++αn2
显然当 α i = ( v i , v ) , ∀ i ∈ [ 1 , n ] \alpha_i = (\mathbf{v_i}, \mathbf{v}), \forall i \in [1,n] αi=(vi,v),i[1,n] 时,等式恒成立!故投影向量为:
v ⊥ = ( v 1 , v ) v 1 + ⋯ + ( v n , v ) v n \mathbf{v}^{\bot}=(\mathbf{v_1}, \mathbf{v})\mathbf{v_1}+\cdots+(\mathbf{v_n}, \mathbf{v})\mathbf{v_n} v=(v1,v)v1++(vn,v)vn
标准正交基可以看作坐标轴,向量与坐标轴的内积就是向量在该轴方向的分量(坐标值),子空间内所有坐标轴方向的分量相加就是投影!

特别重要的特例,当子空间就是整个空间时,显然投影向量就是向量本身,得:

重要性质 m m m 维空间任意向量 v \mathbf{v} v 与标准正交基 V V V 的正交分解:
v = ( v 1 , v ) v 1 + ⋯ + ( v m , v ) v m \mathbf{v}=(\mathbf{v_1}, \mathbf{v})\mathbf{v_1}+\cdots+(\mathbf{v_m}, \mathbf{v})\mathbf{v_m} v=(v1,v)v1++(vm,v)vm

这就是物理学中的正交分解!得到最简基节同样结论。

下面证明垂线距离最短,几何上就是直角三角形斜边长度大于直角边,线性代数也是这样证明的。假设子空间 S 1 S_1 S1 内任意向量 u \mathbf{u} u ,向量 v \mathbf{v} v 分解为 v = u + w \mathbf{v}=\mathbf{u}+\mathbf{w} v=u+w ,则向量 w \mathbf{w} w 是斜边,向量 v − v ⊥ \mathbf{v}-\mathbf{v}^\bot vv 是垂线,请想象出二维点到直线距离,三维点到平面距离的图像。
∥ w ∥ 2 = ∥ v − u ∥ 2 = ∥ ( v − v ⊥ ) + ( v ⊥ − u ) ∥ 2 = ∥ ( v − v ⊥ ) ∥ 2 + ∥ ( v ⊥ − u ) ∥ 2 ≥ ∥ ( v − v ⊥ ) ∥ 2 \|\mathbf{w}\|^2 = \|\mathbf{v}-\mathbf{u}\|^2=\|(\mathbf{v}-\mathbf{v}^\bot) + (\mathbf{v}^\bot-\mathbf{u})\|^2 = \|(\mathbf{v}-\mathbf{v}^\bot)\|^2 + \|(\mathbf{v}^\bot-\mathbf{u})\|^2 \ge \|(\mathbf{v}-\mathbf{v}^\bot)\|^2 w2=vu2=(vv)+(vu)2=(vv)2+(vu)2(vv)2
向量 v − v ⊥ \mathbf{v}-\mathbf{v}^{\bot} vv 位于正交补空间 S 1 ⊥ S_1^{\bot} S1 ,垂直子空间内任意向量,向量 ( v ⊥ , u ) (\mathbf{v}^\bot,\mathbf{u}) (v,u) 位于子空间内,故 v − v ⊥ \mathbf{v}-\mathbf{v}^{\bot} vv 垂直 ( v ⊥ − u ) (\mathbf{v}^\bot-\mathbf{u}) (vu) ,根据勾股定理,得到中间等式。

向量投影有个应用,就是判断向量是否位于子空间内?如果向量等于子空间投影,则向量位于子空间内。子空间内的向量能被子空间的生成向量组表示。

向量投影的这两个性质对于理解线性方程很关键,特别是最小二乘法。

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