接着第五讲的内容
在子空间中提到了P和L，取他们的并
P U L =P和L中的所有向量，请问这个并集是不是子空间？
答案：不是
那交集呢？若是任意两个子空间呢？
答案：是
假设取S、T的交集的两个向量v，w。
显然v+w是属于S，同理对于T中任意两向量，相加仍然属于T
乘法条件也同然成立
也就是说，取任意两子空间的交集，结果仍是子空间，只是比原子空间小
列空间
举个例子
此处三个向量是构不成向量空间的，怎么将其扩充为子空间？
取三个列向量的线形组合即可（并不能得到整个四维向量空间）
因此A的列空间由所有列的线性组合组成
Ax = b 对任意b，都有解吗？
并不总有解，因为A有四个方程，却只有三个未知数（3个列向量的线性组合无法充满整个思维空间，因此存在很多不是这三个列向量线性组合的b存在）
本节课重点：什么样的b，使方程组有解？
如果b=[0,0,0,0]显然成立（Ax=0永远成立）
b=[1,2,3,4]也是有解的 解为x=[1,0,0]
b=[1,1,1,1]也有解 解为x=[0,1,0]
总结：Ax=b有解，当且仅当b为A的列空间（只有b是A的列向量的线性组合，才有解）
这三个列向量线性无关吗？（是否每一列都对组合有所贡献）（或者说，能否去掉某列，得到同样的列空间）
可以去除第三列，因为它等于前两者之和，这样第一第二列称为主列
同样去掉第一列也可以，只是由习惯决定。
因此这里矩阵的列空间可以描述为R4中的二维子空间
零空间
还是用到上面提到的A这个矩阵，A的零空间包含什么？
它包含Ax=0中所有的解x，x为三个分量，b应该全是0（即讨论的是Ax=0），现在关心的是它的解x
那该例子的零空间是R3的子空间。因此x是属于R3（x=[x1,x2,x3]的转置），而列空间是R4子空间（即A）
该式子的零空间是什么呢？
我们需要求解方程中所有的解（该例子举的简单，可以直观找出解。难一点的需要化简消元）
先找出一个解：
1.0向量一定被包含在零向量
2.x=[1,1,-1]的转置
它包含所有类似1 1 -1的向量
故该方程的零向量：是一条R3中的直线
回到向量空间和子空间概念，思考零空间为何能被称为空间（满足加法、数乘封闭）
检验：Ax=0的解构成一个子空间 （关键字：空间）
需要证明，对任意一个解x和另一个解x*，他们的和仍是解，这是空间的限制条件（加法封闭）
即如果Ax=0、Ax*=0,则A(x+x*)必然为零。（因为括号可以乘开，有些简单）
关键是理解什么是向量空间
该方程的所有解，是否构成向量空间吗？
显然不构成（因为解中不包含零向量，最基本的要求都不满足）
这式子中的解其实是一条不过原点的直线
由此可知：向量空间需要穿过原点