第六课——向量空间及子空间

接着第五讲的内容

在子空间中提到了P和L，取他们的并

P U L =P和L中的所有向量，请问这个并集是不是子空间？

答案：不是

那交集呢？若是任意两个子空间呢？

答案：是

假设取S、T的交集的两个向量v，w。

显然v+w是属于S，同理对于T中任意两向量，相加仍然属于T

乘法条件也同然成立

也就是说，取任意两子空间的交集，结果仍是子空间，只是比原子空间小

列空间

举个例子

A的列空间是R4的子空间

此处三个向量是构不成向量空间的，怎么将其扩充为子空间？

取三个列向量的线形组合即可（并不能得到整个四维向量空间）

因此A的列空间由所有列的线性组合组成

Ax = b 对任意b，都有解吗？

并不总有解，因为A有四个方程，却只有三个未知数（3个列向量的线性组合无法充满整个思维空间，因此存在很多不是这三个列向量线性组合的b存在）

本节课重点：什么样的b，使方程组有解？

如果b=[0,0,0,0]显然成立（Ax=0永远成立）

b=[1,2,3,4]也是有解的   解为x=[1,0,0]

b=[1,1,1,1]也有解   解为x=[0,1,0]

总结：Ax=b有解，当且仅当b为A的列空间（只有b是A的列向量的线性组合，才有解）

这三个列向量线性无关吗？（是否每一列都对组合有所贡献）（或者说，能否去掉某列，得到同样的列空间）

可以去除第三列，因为它等于前两者之和，这样第一第二列称为主列

同样去掉第一列也可以，只是由习惯决定。

因此这里矩阵的列空间可以描述为R4中的二维子空间

零空间

还是用到上面提到的A这个矩阵，A的零空间包含什么？

它包含Ax=0中所有的解x，x为三个分量，b应该全是0（即讨论的是Ax=0），现在关心的是它的解x

那该例子的零空间是R3的子空间。因此x是属于R3（x=[x1,x2,x3]的转置），而列空间是R4子空间（即A）

该式子的零空间是什么呢？

我们需要求解方程中所有的解（该例子举的简单，可以直观找出解。难一点的需要化简消元）

先找出一个解：

1.0向量一定被包含在零向量

2.x=[1,1,-1]的转置

它包含所有类似1 1 -1的向量

c为任意常数

故该方程的零向量：是一条R3中的直线

回到向量空间和子空间概念，思考零空间为何能被称为空间（满足加法、数乘封闭）

检验：Ax=0的解构成一个子空间   （关键字：空间）

需要证明，对任意一个解x和另一个解x*，他们的和仍是解，这是空间的限制条件（加法封闭）

即如果Ax=0、Ax*=0,则A(x+x*)必然为零。（因为括号可以乘开，有些简单）

关键是理解什么是向量空间

该方程的所有解，是否构成向量空间吗？

显然不构成（因为解中不包含零向量，最基本的要求都不满足）

这式子中的解其实是一条不过原点的直线

由此可知：向量空间需要穿过原点