【高中数学/极值/判别式法】已知实数a和b，b在(0,1)区间，a-b=1,则1/(a-1)+1/(5-4b)的最小值是？

【问题】

已知实数a,b，b在(0,1)区间，a-b=1,则1/(a-1)+1/(5-4b)的最小值是？

【来源】

《解题卡壳怎么办 高中数学解题智慧点剖析》P34 余继光 苏德矿合著 浙江大学出版社出版

【破题点】

将a-1用b取代，发现结果是二次式相除，正好可用判别式法。

【解答】

由a-b=1得到a-1=b

于是原式=1/b+1/(5-4b)

设b为x,结果为y，得到表达式y=(5-3x)/(5x-4x^2)

展开后得到4yx^2-(5y+3)x+5=0

上式的Δ=(5y+3)^2-4*4y*5=25y^2-50y+9>=0

继而得到(5y-1)(5y-9)>=0

最后得到y<=0.2 或y>=1.8

故1.8为y的最小值.

将1.8=(5-3x)/(5x-4x^2) 展开后得(6x-5)^2=0,x=5/6,正好在(0,1)区间内。

故b=5/6≈0.83时，1/(a-1)+1/(5-4b)的最小值是1.8.

【函数图像】

用Canvas勾画函数y=(5-3x)/(5x-4x^2)得图线如下图：

由上图可见，在(0,1)区间，y取到最小值1.8；在（1.25，+∞）区间，y取到最大值0.2，这与前面计算得到的两个极值是相符的，实际图像和理论计算可以相互印证。

【绘制图像的Canvas代码】

     
     
     

     
        

            
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