【概率论】理解贝叶斯（Bayes）公式：为什么疾病检测呈阳性，得这种病的概率却不高？

先说结论：因为假阳性的人数相比于真阳性太多了。
具体是怎么回事呢？咱们慢慢分析。

一、贝叶斯公式

定理1（贝叶斯公式） 设有事件$A,B$，$P(A)>0$，$P(B)>0$，则$$P(B|A)=\frac{P(B)P(A|B)}{P(A)}$$证明：由条件概率的定义$$P(C|D)=\frac{P(CD)}{P(D)}$$可知$P(B)P(A|B)=P(AB)$，$\frac{P(AB)}{P(A)}=P(B|A)$。

定理2（含全概率公式的贝叶斯公式）若事件$B_1,B_2,\cdots ,B_n,\cdots$构成互斥完备事件群，且对于任意$i=1,2,\cdots$有$P(B_i)>0$，则对于任意事件$A$（$P(A)>0$），有$$P(B_i|A)=\frac{P(B_i)P(A|B_i)}{\sum _{j}P(B_j)P(A|B_j)}$$证明提要：由全概率公式有$$P(A)=\sum _{j}P(B_j)P(A|B_j)$$，然后代入定理1即可。

二、典例分析

现在我们考虑标题中提出的问题。

例 某个地区患有一种疾病的占$0.05\%$，患者对某种检测结果呈阳性的概率为$0.99$，正常人对这种检查呈阳性的概率为$0.005$，问检测结果呈阳性的人得这种并的概率是多少？

解 记事件$A$为患有此疾病，$B$为检测结果呈阳性，则$\bar{A}$为未患有此疾病。
根据题意，$P(A)=0.0005$，$P(\bar{A})=0.9995$，$P(B|A)=0.99$，$P(B|\bar{A})=0.005$。
显然$A$和$\bar{A}$构成互斥完备事件群。
根据定理2，有$$P(A|B)=\frac{P(A)P(B|A)}{P(A)P(B|A)+P(\bar{A})P(B|\bar{A})}=\frac{0.000495}{0.000495+0.0049975}\approx 0.0901$$即检测结果呈阳性，得病的概率只有$9.01\%$。

按理来说，这种检测其实是相当精准的（得病的对这种检测结果呈阳性的概率高达$99\%$，未得病的呈阳性的概率只有$0.5\%$），那为什么会出现这种结果呢？

我们分析一下$P(A|B)$的式子。$P(A)P(B|A)$是得病且呈阳性的概率，$P(\bar{A})P(B|\bar{A})$是未得病且呈阳性的概率，所以$P(A|B)$就是得病且呈阳性的概率占总的呈阳性的概率的比例。

为了更具体地讨论，我们用人数来说话。假设当地有一百万（$1000000$）人，则得病的有$500$人，得病且呈阳性的有$495$人，正常人呈阳性的有$4997.525$人（按$4998$人来计算）。表示成图就是这个样子：

呈阳性的情况下得病的概率是多大呢？现在我们仅把目光聚焦在呈阳性的人里面：

为方便比较，我们把“得病且呈阳性”的部分旋转：

呈阳性且得病的几率就是得病且呈阳性的人数占所有呈阳性的人数的比例：$\frac{495}{495+4998}\approx 9\%$。

所以，虽然正常人呈阳性的概率很小，但是正常人和得病的人数相比实在是太多了，导致正常人呈阳性的也非常多，“冲淡了”呈阳性的人得病的几率。相比之下，得病且呈阳性的人实在是少得可怜。因此，我们就解释了为什么虽然检测结果呈阳性，得这种病的概率却不高。

既然如此，做这种检测还有意义吗？还是有的，因为做之前一个人得病的几率为$0.05\%$，做了且呈阳性之后得病的几率骤增到了$9\%$，上升了$180$倍。当然，医院里面检测一个疾病要用很多种检测手段，这样就能一步步排除假阳性的情况了。

三、贝叶斯公式的本质思考（摘自教材）