P2801 教主的魔法
[题目通道](教主的魔法 - 洛谷)
摘要
分块，是一种优雅的暴力，它通过对数列分段，完成对数列一些区间操作和区间查询的操作，是一种根号算法。
这篇学习笔记&题解是本萌新在学习分块过程中的一些感悟，希望能够帮助分块零基础的同学学会基础分块。
0 说明
本文中，以下变量有特定的含义：
- blockblock：块的大小
- nn：被分块的数列的大小（长度）
- LxLx：第 xx 号块的左边界
- RxRx：第 xx 号块的右边界
- tottot：块的数量
- belongxbelongx：第 xx 号元素所属的块
在写作时，由于本萌新的失误，只好提前在这里令 [l,r][l,r] 与 [x,y][x,y] 等价。
1 建块
1.1 建块需要完成的任务
在读入数据后，建块需要完成以下几个任务：
- 确定块的大小
- 确定块的数量
- 标记每个块的左右边界
- 标记每个元素所属的块
- 对每个块的数据进行初始化
1.2 确定块的大小
一般来说，我们习惯于令 block=nblock=n。
但是由于毒瘤良心命题人泛滥，block=nblock=n 极其有可能被针对，在这种情况下，我们可以对块的大小适当作出一些调整，例如 n+1n+1，n−1n−1，nlg(n)lg(n)n 等。
一般这个工作只有一句话：
block = (int)sqrt((double)n);
1.3 确定块的数量
在确定了块的大小后，块的数目就很容易确定了。
但是 nn 不一定是一个完全平方数，我们需要把最后几个无法凑足 blockblock 个元素的再单独分一个块。
代码如下：
tot = n / block;
if(n % block) tot++;
1.4 标记每个块的左右边界
非常显然，L1=1,R1=block,L2=block+1,R2=2×block,⋯L1=1,R1=block,L2=block+1,R2=2×block,⋯
从而可以得出结论：
Lx=(x−1)⋅block+1,Rx=x⋅blockLx=(x−1)⋅block+1,Rx=x⋅block
特别地，Rtot=nRtot=n
代码：
for(int i = 1; i <= tot; i++){
L[i] = (i - 1) * block + 1;
R[i] = i * block;
}
R[tot] = n;
1.5 标记每个元素所属的块
根据 1.4，我们很容易推出公式如下：
belongx=x−1block+1belongx=blockx−1+1
代码如下：
for(int i = 1; i <= n; i++)
belong[i] = (i - 1) / block + 1;
重要：在使用分块过程中，一定要注意区分 tottot 和 nn。 tottot 是块的总数，nn 是原来元素的总数。
1.6 对每个块的元素进行初始化
这项工作因题目不同而不同，如【教主的魔法】一题，就要对每个块的元素进行排序。
因为排序会对原始数列作出改变，所以在本题中，应当先把数列复制一遍再进行分块
2 分块题常见的操作
修改：
- 对数列 [l,r][l,r] 内的每个数加上 kk
- 对数列 [l,r][l,r] 内的每个数减去 kk
- etc.
查询：
- 求数列 [l,r][l,r] 内的所有数的和
- 求数列 [l,r][l,r] 内的数有多少大于/小于/大于等于/小于等于 kk
- etc.
3 修改操作
考虑两种修改操作本质相同，第二种修改操作相当于第一种修改操作中 k=−k′k=−k′。
3.1 暴力修改
考虑枚举区间 [l,r][l,r] 之间所有数，直接对其实施修改，在修改的过程中维护每一个块的和/大小关系等。
但这不是我们考虑的东西
3.2 考虑线段树思想
线段树一个重要思想：lazytag
考虑应用在分块中。在修改操作中，如果是整块，就不维护每个的具体信息，而是在这个块的 lazylazy 标记上加上 kk。对于没有整块修改的部分（即块 belongxbelongx 和 belongybelongy 的修改部分），暴力修改。
这样的话，第 ii 个数据 aiai 的真正数据值为 ai+lazybelongiai+lazybelongi。
如果询问涉及到排序，块 belongxbelongx 和 belongybelongy 需要全部重新备份和排序，对于块 [belongx+1,belongy−1][belongx+1,belongy−1] 的块，数的相对大小不会改变，所以可以不重新排序。
特别地，需要特判 belongx=belongybelongx=belongy 的情况。
代码：
void change(){
if(belong[x] == belong[y]){
for(int i = x; i <= y; i++){
a[i] += k;
sum[belong[x]] += k;
}
return;
}
for(int i = x; i <= R[belong[x]]; i++){
a[i] += k;sum[belong[x]] += k;
}
for(int i = L[belong[y]]; i <= y; i++){
a[i] += k; sum[belong[y]] += k;
}
for(int i = belong[x] + 1; i <= belong[y] - 1; i++){
lazy[i] += k;
sum[i] += blo * k;
}
}
对以下这句代码作出特别解释：
sum[i] += blo * k;
不用特判最后一块的原因是：如果操作区间覆盖到的最后一块，也一定是作为 belongybelongy 处理掉了，剩下来的块长一定是 blockblock。
4 查询操作
4.1 查询元素和
对于块 belongxbelongx 和 belongybelongy，暴力枚举加和，注意加上其元素后还要加上 lazybelongilazybelongi
对于 [belongx+1,belongy−1][belongx+1,belongy−1] 的块，直接 ans=ans+sum[i] 即可。
同样的，需要特判 belongx=belongybelongx=belongy
代码：
int query_sum(){
int ans = 0;
if(belong[x] == belong[y]){
for(int i = x; i <= y; i++){
ans += a[i] + lazy[belong[x]];
}
return ans;
}
for(int i = x; i <= R[belong[x]]; i++){
ans += a[i] + lazy[belong[x]];
}
for(int i = L[belong[x]]; i <= y; i++){
ans += a[i] + lazy[belong[y]];
}
for(int i = belong[x] + 1; i <= belong[y] - 1; i++){
ans += sum[i];
}
return ans;
}
4.2 查询关系
与4.1类似，在块 belongxbelongx 和 belongybelongy，暴力枚举求答案；
对于 [belongx+1,belongy−1][belongx+1,belongy−1] 的块，因为其是有序的，进行二分找到端点位置，然后加加减减求出块中有多少符合要求的元素即可。
本处代码见5.
5 教主的魔法
在学习完分块后，我们可以发现，教主的魔法就是一道裸的分块题。
因此，完整代码如下：
#include
#include
using namespace std;
int m,n,t,pos[1251000];
int s[2151000],flag[1251000];
vectorv[550000];
void reset(int x) {
v[pos[x]].clear();
for(int i=(pos[x]-1)*m+1; i<=min(pos[x]*m,n); i++)
v[pos[x]].push_back(s[i]);
sort(v[pos[x]].begin(),v[pos[x]].end());
}
void change(int a,int b,int c) {
for(int i=a; i<=min(pos[a]*m,b); i++)
s[i]+=c;
reset(a);
if(pos[a]!=pos[b]) {
for(int i=(pos[b]-1)*m+1; i<=b; i++)
s[i]+=c;
reset(b);
}
for(int i=pos[a]+1; i<=pos[b]-1; i++)
flag[i]+=c;
}
int query(int l,int r,int c) {
int ans=0;
for(int i=l; i<=min(pos[l]*m,r); i++)
if(s[i]+flag[pos[l]]>x;
scanf("%d%d%d",&a,&b,&c);
if (x=='M') {
change(a,b,c);
} else if (x=='A') {
cout<