P2801 教主的魔法

[题目通道](教主的魔法 - 洛谷)

摘要

分块,是一种优雅的暴力,它通过对数列分段,完成对数列一些区间操作和区间查询的操作,是一种根号算法。

这篇学习笔记&题解是本萌新在学习分块过程中的一些感悟,希望能够帮助分块零基础的同学学会基础分块。


0 说明

本文中,以下变量有特定的含义:

  • block⁡block:块的大小
  • nn:被分块的数列的大小(长度)
  • LxLx​:第 xx 号块的左边界
  • RxRx​:第 xx 号块的右边界
  • tot⁡tot:块的数量
  • belong⁡xbelongx​:第 xx 号元素所属的块

在写作时,由于本萌新的失误,只好提前在这里令 [l,r][l,r] 与 [x,y][x,y] 等价。


1 建块

1.1 建块需要完成的任务

在读入数据后,建块需要完成以下几个任务:

  • 确定块的大小
  • 确定块的数量
  • 标记每个块的左右边界
  • 标记每个元素所属的块
  • 对每个块的数据进行初始化

1.2 确定块的大小

一般来说,我们习惯于令 block⁡=nblock=n​。

但是由于毒瘤良心命题人泛滥,block⁡=nblock=n​ 极其有可能被针对,在这种情况下,我们可以对块的大小适当作出一些调整,例如 n+1n​+1,n−1n​−1,nlg⁡(n)lg(n)n​​ 等。

一般这个工作只有一句话:

block = (int)sqrt((double)n);

1.3 确定块的数量

在确定了块的大小后,块的数目就很容易确定了。

但是 nn 不一定是一个完全平方数,我们需要把最后几个无法凑足 block⁡block 个元素的再单独分一个块。

代码如下:

tot = n / block;
if(n % block) tot++;

1.4 标记每个块的左右边界

非常显然,L1=1,R1=block⁡,L2=block⁡+1,R2=2×block⁡,⋯L1​=1,R1​=block,L2​=block+1,R2​=2×block,⋯

从而可以得出结论:

Lx=(x−1)⋅block⁡+1,Rx=x⋅block⁡Lx​=(x−1)⋅block+1,Rx​=x⋅block

特别地,Rtot⁡=nRtot​=n

代码:

for(int i = 1; i <= tot; i++){
	L[i] = (i - 1) * block + 1;
    R[i] = i * block;
}
R[tot] = n;

1.5 标记每个元素所属的块

根据 1.4,我们很容易推出公式如下:

belong⁡x=x−1block⁡+1belongx​=blockx−1​+1

代码如下:

for(int i = 1; i <= n; i++)
	belong[i] = (i - 1) / block + 1;

重要:在使用分块过程中,一定要注意区分 tot⁡tot 和 nn。 tot⁡tot 是块的总数,nn 是原来元素的总数。

1.6 对每个块的元素进行初始化

这项工作因题目不同而不同,如【教主的魔法】一题,就要对每个块的元素进行排序。

因为排序会对原始数列作出改变,所以在本题中,应当先把数列复制一遍再进行分块


2 分块题常见的操作

修改:

  • 对数列 [l,r][l,r] 内的每个数加上 kk
  • 对数列 [l,r][l,r] 内的每个数减去 kk
  • etc.

查询:

  • 求数列 [l,r][l,r] 内的所有数的和
  • 求数列 [l,r][l,r] 内的数有多少大于/小于/大于等于/小于等于 kk
  • etc.

3 修改操作

考虑两种修改操作本质相同,第二种修改操作相当于第一种修改操作中 k=−k′k=−k′。

3.1 暴力修改

考虑枚举区间 [l,r][l,r] 之间所有数,直接对其实施修改,在修改的过程中维护每一个块的和/大小关系等。

但这不是我们考虑的东西

3.2 考虑线段树思想

线段树一个重要思想:lazytag

考虑应用在分块中。在修改操作中,如果是整块,就不维护每个的具体信息,而是在这个块的 lazy⁡lazy 标记上加上 kk。对于没有整块修改的部分(即块 belong⁡xbelongx​ 和 belong⁡ybelongy​ 的修改部分),暴力修改。

这样的话,第 ii 个数据 aiai​ 的真正数据值为 ai+lazy⁡belong⁡iai​+lazybelongi​​。

如果询问涉及到排序,块 belong⁡xbelongx​ 和 belong⁡ybelongy​ 需要全部重新备份和排序,对于块 [belong⁡x+1,belong⁡y−1][belongx​+1,belongy​−1] 的块,数的相对大小不会改变,所以可以不重新排序。

特别地,需要特判 belong⁡x=belong⁡ybelongx​=belongy​ 的情况。

代码:

void change(){
	if(belong[x] == belong[y]){
		for(int i = x; i <= y; i++){
			a[i] += k;
			sum[belong[x]] += k;
		}
		return;
	}
	for(int i = x; i <= R[belong[x]]; i++){
		a[i] += k;sum[belong[x]] += k;
	}
	for(int i = L[belong[y]]; i <= y; i++){
		a[i] += k; sum[belong[y]] += k;
	}
	for(int i = belong[x] + 1; i <= belong[y] - 1; i++){
		lazy[i] += k;
		sum[i] += blo * k;
	}
}

对以下这句代码作出特别解释:

sum[i] += blo * k;

不用特判最后一块的原因是:如果操作区间覆盖到的最后一块,也一定是作为 belong⁡ybelongy​ 处理掉了,剩下来的块长一定是 block⁡block。


4 查询操作

4.1 查询元素和

对于块 belong⁡xbelongx​ 和 belong⁡ybelongy​,暴力枚举加和,注意加上其元素后还要加上 lazy⁡belong⁡ilazybelongi​​

对于 [belong⁡x+1,belong⁡y−1][belongx​+1,belongy​−1] 的块,直接 ans=ans+sum[i] 即可。

同样的,需要特判 belong⁡x=belong⁡ybelongx​=belongy​

代码:

int query_sum(){
	int ans = 0;
	if(belong[x] == belong[y]){
		for(int i = x; i <= y; i++){
			ans += a[i] + lazy[belong[x]];
		}
		return ans;
	}
	for(int i = x; i <= R[belong[x]]; i++){
		ans += a[i] + lazy[belong[x]];
	}
	for(int i = L[belong[x]]; i <= y; i++){
		ans += a[i] + lazy[belong[y]];
	}
	for(int i = belong[x] + 1; i <= belong[y] - 1; i++){
		ans += sum[i];
	}
	return ans;
}

4.2 查询关系

与4.1类似,在块 belong⁡xbelongx​ 和 belong⁡ybelongy​,暴力枚举求答案;

对于 [belong⁡x+1,belong⁡y−1][belongx​+1,belongy​−1] 的块,因为其是有序的,进行二分找到端点位置,然后加加减减求出块中有多少符合要求的元素即可。

本处代码见5.


5 教主的魔法

在学习完分块后,我们可以发现,教主的魔法就是一道裸的分块题。

因此,完整代码如下:

#include
#include
using namespace std;
int m,n,t,pos[1251000];
int s[2151000],flag[1251000];
vectorv[550000];

void reset(int x) {
	v[pos[x]].clear();
	for(int i=(pos[x]-1)*m+1; i<=min(pos[x]*m,n); i++)
		v[pos[x]].push_back(s[i]);
	sort(v[pos[x]].begin(),v[pos[x]].end());
}

void change(int a,int b,int c) {
	for(int i=a; i<=min(pos[a]*m,b); i++)
		s[i]+=c;
	reset(a);
	if(pos[a]!=pos[b]) {
		for(int i=(pos[b]-1)*m+1; i<=b; i++)
			s[i]+=c;
		reset(b);
	}
	for(int i=pos[a]+1; i<=pos[b]-1; i++)
		flag[i]+=c;
}

int query(int l,int r,int c) {
	int ans=0;
	for(int i=l; i<=min(pos[l]*m,r); i++)
		if(s[i]+flag[pos[l]]>x;
		scanf("%d%d%d",&a,&b,&c);
		if (x=='M') {
			change(a,b,c);
		} else if (x=='A') {
			cout<

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