代码随想录算法训练营第三十二天（动态规划 一）

前几天有点忙加上贪心后面好难QWQ 暂时跳过两天的贪心，开始学动归

动态规划理论基础:

文章链接:代码随想录

文章思维导图:

文章摘要:

动态规划，英文：Dynamic Programming，简称DP，如果某一问题有很多重叠子问题，使用动态规划是最有效的。

动态规划的解题步骤（动归五部曲）

1. 确定dp数组（dp table）以及下标的含义
2. 确定递推公式
3. dp数组如何初始化
4. 确定遍历顺序
5. 举例推导dp数组

一些建议与解惑   

一些同学可能想为什么要先确定递推公式，然后在考虑初始化呢？

因为一些情况是递推公式决定了dp数组要如何初始化！

做动归找问题的最好方式就是把dp数组打印出来，看看究竟是不是按照自己思路推导的！

力扣题部分:

509. 斐波那契数

题目链接:. - 力扣（LeetCode）

题面:

斐波那契数 （通常用 F(n) 表示）形成的序列称为 斐波那契数列 。该数列由 0 和 1 开始，后面的每一项数字都是前面两项数字的和。也就是：

F(0) = 0，F(1) = 1 F(n) = F(n - 1) + F(n - 2)，其中 n > 1。

给定 n ，请计算 F(n) 。

思路:

动归五部曲:

1.确定dp数组以及下标的含义

dp[i]的定义为：第i个数的斐波那契数值是dp[i]

2.确定递推公式

递推公式题目直接给我们了，我们可以写出状态转移方程 dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2];

3.dp数组如何初始化

同样也是直接由题目得出dp[0] = 0, dp[1] = 1。

4.确定遍历顺序

从递归公式dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2];中可以看出，dp[i]是依赖 dp[i - 1] 和 dp[i - 2]，那么遍历的顺序一定是从前到后遍历的

5.举例推导dp数组

按照这个递推公式dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2]，我们来推导一下，当N为10的时候，dp数组应该是如下的数列：

0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55

代码实现:

class Solution {
public:
    int fib(int n) {
        int dp[35];
        if(n == 0 || n == 1) return n;
        dp[1] = 1;
        for(int i = 2; i <= n; i ++)
        {
            dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2];
        }
        return dp[n];
    }
};

70. 爬楼梯

题目链接:. - 力扣（LeetCode）

题面:

假设你正在爬楼梯。需要 n 阶你才能到达楼顶。

每次你可以爬 1 或 2 个台阶。你有多少种不同的方法可以爬到楼顶呢？

思路:

动归五部曲:

1.确定dp数组以及下标的含义

dp[i]： 爬到第i层楼梯，有dp[i]种方法

2.确定递推公式

如何可以推出dp[i]呢？

首先是dp[i - 1]，上i-1层楼梯，有dp[i - 1]种方法，那么再一步跳一个台阶不就是dp[i]了么。

还有就是dp[i - 2]，上i-2层楼梯，有dp[i - 2]种方法，那么再一步跳两个台阶不就是dp[i]了么。

那么dp[i]就是 dp[i - 1]与dp[i - 2]之和！

递推公式: dp[n] = dp[n - 1] + dp[n - 2];

3.dp数组如何初始化

回顾一下dp[i]的定义：爬到第i层楼梯，有dp[i]种方法

递推公式需要两个值，由题目不难得出 dp[1] = 1, dp[2] = 2。

4.确定遍历顺序

遍历顺序一定是从前向后遍历的，和上一题本质其实一样。

5.举例推导dp数组

1 2 3 5 8 13 21 34 55

不少人肯定看出来了，这不就是斐波那契数列么！

和上一题区别就是没前两个数组而已。

代码实现:

class Solution {
public:
    int climbStairs(int n) {
        int dp[50];
        if(n == 1 || n == 2) return n;
        dp[1] = 1, dp[2] = 2;
        for(int i = 3; i <= n; i ++)
        {
            dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2];
        }
        return dp[n];
    }
};

746. 使用最小花费爬楼梯

题目链接:. - 力扣（LeetCode）

题面:

给你一个整数数组 cost ，其中 cost[i] 是从楼梯第 i 个台阶向上爬需要支付的费用。一旦你支付此费用，即可选择向上爬一个或者两个台阶。

你可以选择从下标为 0 或下标为 1 的台阶开始爬楼梯。

请你计算并返回达到楼梯顶部的最低花费。

思路:

动归五部曲:

1.确定dp数组以及下标的含义

dp[i]的定义：到达第i台阶所花费的最少体力为dp[i]。

2.确定递推公式

可以有两个途径得到dp[i]，一个是dp[i-1] 一个是dp[i-2]。

dp[i - 1] 跳到 dp[i] 需要花费 dp[i - 1] + cost[i - 1]。

dp[i - 2] 跳到 dp[i] 需要花费 dp[i - 2] + cost[i - 2]。

那么究竟是选从dp[i - 1]跳还是从dp[i - 2]跳呢？

一定是选最小的，所以dp[i] = min(dp[i - 1] + cost[i - 1], dp[i - 2] + cost[i - 2]);

3.dp数组如何初始化

看一下递推公式，dp[i]由dp[i - 1]，dp[i - 2]推出，既然初始化所有的dp[i]是不可能的，那么只初始化dp[0]和dp[1]就够了，其他的最终都是dp[0]dp[1]推出。

题目说你可以选择从下标为 0 或下标为 1 的台阶开始爬楼梯。也就是说到达 第 0 个台阶是不花费的，但从 第0 个台阶往上跳的话，需要花费 cost[0]。

所以初始化 dp[0] = 0，dp[1] = 0;

4.确定遍历顺序

因为是模拟台阶，而且dp[i]由dp[i-1]dp[i-2]推出，所以是从前到后遍历cost数组就可以了。

今天的三道题好像这个步骤不需要思考，但随着后面的学习，我们会遇到需要在这块做文章的题目的。

5.举例推导dp数组

拿示例2：cost = [1, 100, 1, 1, 1, 100, 1, 1, 100, 1] ，来模拟一下dp数组的状态变化，如下：

代码实现:

class Solution {
public:
    int minCostClimbingStairs(vector& cost) 
    {
        int dp[1000] = {0};
        for(int i = 2; i < cost.size(); i ++)
        {
            dp[i] = min((dp[i - 1] + cost[i - 1]), (dp[i - 2] + cost[i - 2]));
            //cout<