Day04-线性代数-特征值和特征向量(DataWhale)

七、特征值和特征向量

$A$ 是n阶方阵，数$\lambda$，若存在非零列向量$\alpha$，使得$A\alpha =\lambda \alpha$，则$\lambda$是特征值，$\alpha$是对应于$\lambda$的特征向量

• $\lambda$可以为0
• $\alpha$不能为$0$，且
• 为列向量
  $$\begin{array}{rl}& A\alpha =\lambda \alpha \\ & \lambda \alpha -A\alpha =0\\ & (\lambda E-A)\alpha =0\\ & 有非零解的条件是|\lambda E-A|=0\end{array}$$

特征方程：$|\lambda E-A|=0$

特征值：$\lambda$

特征向量：$\lambda$ 对应的 $\alpha$

定理：

• $\lambda$ 是A的特征值，$\alpha$是对应的特征向量，则$c\alpha$也是$\lambda$的特征向量【一个特征向量只能对应一个特征值】
• ${\alpha }_1,{\alpha }_2$是$\lambda$的特征向量，$c_1{\alpha }_1+c_2{\alpha }_2$是$\lambda$的特征向量

求解$|\lambda E-A|$：

• 把某行尽可能转化为零，然后按行展开【展开时注意前面系数的正负号】
• 提公因子(含$\lambda$)
• 相反数、相同数消掉；行和(列和)提取公因子
• 不要直接展开为多次方程

性质：

• $A$和$A^T$有相同的特征值，但不一定有相同的特征向量

• n个特征值${\lambda }_1,{\lambda }_2,...,{\lambda }_n$

  • ${\sum }_{i=1}^n{\lambda }_i={\sum }_{i=1}^n{a}_{ii}=tr(A)[迹]$
  • ${\lambda }_1{\lambda }_2...{\lambda }_n=|A|$

• 互不相同的特征值${\lambda }_1,{\lambda }_2,...,{\lambda }_m$对应的特征向量${\alpha }_1,{\alpha }_2,...,{\alpha }_m$线性无关

  • ${\lambda }_1,{\lambda }_2,...,{\lambda }_n$分别单独对应多个线性无关的特征向量，则所有的特征向量也线性无关

• k重特征根对应的线性无关的特征向量的个数$\le k$

• $k\lambda$ 是 $kA$ 的特征值

• ${\lambda }^2$是$A^2$ 的特征值，${\lambda }^k$是$A^k$的特征值

• $\lambda$ 是 $A$ 的特征值，${\lambda }^5+6{\lambda }^2+\lambda +3\times 1$是$A^5+6A^2+A+3E$ 的特征值【E换成1】

• $\frac{1}{\lambda }$是$A^{-1}$的特征值；$\frac{1}{\lambda }|A|$是$A^{\ast }$的特征值；$\lambda |A{|}^{n-2}$是${A^{\ast }}^{\ast }$的特征值

八、相似矩阵

8.1 相似矩阵

$A、B$ 是 $n$ 阶方阵，存在$n$阶可逆方阵$P$，$P^{-1}AP=B$，则A~B

• 反身性：A~A
• 对称性：A ~ B ==> B ~ A
• 传递性：A ~ B，B ~ C，==> A ~ C

性质：

• A ~ B，则A和B有相同的特征值 |A|=|B| tr(A)=tr(B)
• A ~ B，则A和B同时可逆或者同时不可逆
• A ~ B，则$A^{-1}$ ~ $B^{-1}$
• A ~ B，则$A^m$ ~ $B^m$

8.2 与对角形矩阵相似的条件

$A$相似于$\Lambda$ <==> $A$ 有$n$个线性无关的特征向量

若$A$有$n$个互异的特征根， 则 A ~ $\Lambda$

Λ = ( λ 1 0 . . . 0 0 λ 2 . . . 0 0 0 . . . 0 0