线性代数 第五讲:线性方程组_齐次线性方程组_非齐次线性方程组_公共解同解方程组_详解

线性方程组

文章目录

  • 线性方程组
  • 1.齐次线性方程组的求解
    • 1.1 核心要义
    • 1.2 基础解系与线性无关的解向量的个数
    • 1.3 计算使用举例
  • 2. 非齐次线性方程的求解
    • 2.1 非齐次线性方程解的判定
    • 2.2 非齐次线性方程解的结构
    • 2.3 计算使用举例
  • 3.公共解与同解
    • 3.1 两个方程组的公共解
    • 3.2 同解方程组
  • 4.方程组的应用
  • 5.重难点题型总结
    • 5.1 抽象齐次线性方程组的求解
    • 5.1 含有系数的非齐次线性方程组的求解及有条件求全部解问题
    • 5.3 同解方程组相关问题

解方程组是重点,把握命题侧重点,大致类型如下
(1)已知方程组
同解变形(行变换),讨论参数
(2)抽象方程组
秩,解的结构,推理分析

1.齐次线性方程组的求解

1.1 核心要义

核心要义:零解与非零解

零解情况
齐次线性方程组肯定存在零解,没有无解的情况。
满足r(A)=n,n个列向量都是线性无关的。

有非零解情况
齐次线性方程组有非零解
⇔秩r(A)
⇔A的列向量线性相关

解释说明如下:
齐次线性方程组必有零解,这没什么好说的,关键是齐次线性方程组是否存在非零解。
若r(A)

特别的
1.扁长形的齐次线性方程必有非零解

A-m*n,m

2.A为方阵n*n,AX=0有非0解⇔|A|=0(克莱默法则)

1.2 基础解系与线性无关的解向量的个数

基础解系:解向量的极大线性无关组

线性无关的解向量的个数为:n-r(A),且AX=0的任一个解可以由这n-r(A)个线性无关的解线性表示,如η1η2…ηt是AX=0的解,则k1η1+k2η2+…ktηt是AX=0的解

解释说明:关于n-r(A)怎么来的不需要知道,证明需要零向量相关

总结:
明确AX=0的基础解系三条法则:

  1. η1η2…ηt是AX=0的解
  2. η1η2…ηt线性无关
  3. AX=0的任一解都可以由η1η2…ηt线性表示

如何证明η1η2…ηt是AX=0的基础解系?(小证明)

  1. 验证A.ηi=0
  2. 证明η1η2…ηt线性无关
  3. 说明t=n-r(A)

1.3 计算使用举例

第一步:
第一步肯定把系数矩阵化成行最简形矩阵
第二步:
用n-r(A)明确线性无关解的个数,将列向量划分为主元和自由变量,主元是含1的行最简,自由变量就是非主元了,自由变量的个数就是线性无关解的个数。
将自由变量位置用线性无关的单位向量取代如 ( 1 0 0 1 ) ( 1 0 0 0 1 0 0 0 1 ) \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} (1001) 100010001

第三步:
通过计算补全其余部分,第三步有两种方法,推荐第二种,节约时间。

方法实例如下:

练习如下:

2. 非齐次线性方程的求解

2.1 非齐次线性方程解的判定

非齐次线性方程的解有两种大的情况:有解和无解
1.有解分为有唯一解和无穷多解
2.无解

AX=b有解,要满足系数矩阵的秩r(A)=其增广矩阵的秩 A ‾ \overline{A} A
AX=b无解,就是r(A)≠ A ‾ \overline{A} A,实际上它们之间的差值只能是1,因为等号右边的常数项,只组成了一个列向量。

AX=b有解情况下
r(A)= A ‾ \overline{A} A=n,有唯一解
r(A)= A ‾ \overline{A} A有无穷多解

2.2 非齐次线性方程解的结构

解的结构是:它的一个解(特解)+其对应的齐次线性方程的解

2.3 计算使用举例

计算使用举例,就讲和齐次线性方程不一样的点,首先是解的结构,多了一个特解,特解的计算有技巧,在自由变量的对应位置,齐次方程写的是单位矩阵,特解写的是 0矩阵,所以,等号右边的b直接就可以抄到特解上。

具体实例:

3.公共解与同解

3.1 两个方程组的公共解

公共解问题,关于给出两个方程组的基础解系问题,求公共解问题值得深入思考

公共解的概念:如果α是方程组(I)的解,也是方程组(II)的解,则称α是方程组(I)和方程组(II)的公共解。

求公共解问题的题型总结

  • 已知两个方程组,求它们的公共解
  • 已知两个方程组的基础解系,求它们的公共解
  • 已知一个方程组和另一个方程组的基础解系,求它们的公共解

第一类问题,已知两个方程组,求它们的公共解
已知(I)AX=0,(II)BX=0,求它们的公共解
[ A B ] X = 0 \left[\begin{matrix} A \\ B \\ \end{matrix}\right]X = 0 [AB]X=0

解释说明,竖着拼接上求齐次线性方程组即可,此时的解向量既满足AX=0,也满足BX=0

第二类问题,已知两个方程组的基础解系,求它们的公共解

思路梳理如下:
假设方程组(I)的基础解系为k1ξ1+k2ξ2
假设方程组(II)的基础解系为L1η1+L2η2
1.设公共解为r,r=k1ξ1+k2ξ2,r=L1η1+L2η2,注意此时的k1和k2,L1和L2跟基础解系中的k1和k2,L1和L2不是一样的,公共解只是基础解系的一部分,所以基础解系的k和公共解的k肯定不同的,这里只是设的一个未知数的形式。求解该类问题的目标其实就是找到k1,k2或L1,L2它们是什么?也就是它们之间有什么关系?(在添加了约束条件后,这个约束条件就是对面的基础解系)

2.令公共解相同可得到k1ξ1+k2ξ2=L1η1+L2η2,移项得k1ξ1+k2ξ2-L1η1-L2η2=0,得到一个齐次线性方程组,此时它们之间就联系起来了,k1,k2,L1,L2看成未知向量组X,ξ1,ξ2,L1,L1看成A,此时就变成了AX=0,k1,k2,L1,L2就是对应的x1,x2,x3,x4
3.解该齐次线性方程组,设新的系数,整理该齐次线性方程组的同解,得到k1,k2或L1,L2的关系,就能写成此时它们的公共解了。

给出例题:
(2002.4)

(张宇基础书上例题4.12)

已知一个方程组和另一个方程组的基础解系,求它们的公共解
求出一个方程组的基础解系,转化为第二类问题。

3.2 同解方程组

若α是(I)的解,则α一定是(II)的解,反之,若α是(II)的解,则必是(I)的解,就称(I)与(II)同解。

4.方程组的应用

关于方程组的应用,本质是利用求方程组,求矩阵,其实是将非齐次线性方程组中等号右边的列向量,扩展到矩阵的范畴

例题1:

例题2:

5.重难点题型总结

5.1 抽象齐次线性方程组的求解

例题1:

例题2:
线性代数 第五讲:线性方程组_齐次线性方程组_非齐次线性方程组_公共解同解方程组_详解_第1张图片

例题3:

5.1 含有系数的非齐次线性方程组的求解及有条件求全部解问题

例题如下:
积累点:
1.含有参数的非齐次方程组的化简成行最简的过程
2.分类讨论

5.3 同解方程组相关问题

同解相关问题,常常是给出同解,求参数,利用秩等知识求方程组中的未知参数

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