数学基础 -- 线性代数之矩阵的迹

矩阵的迹

什么是矩阵的迹？

矩阵的迹（Trace of a Matrix）是线性代数中的一个基本概念，定义为一个方阵主对角线上元素的总和。矩阵的迹在许多数学和物理应用中都起着重要作用，例如在矩阵分析、量子力学、统计学和系统理论中。

矩阵迹的定义

对于一个 $n\times n$ 的方阵 $A$：

A = ( a 11 a 12 ⋯ a 1 n a 21 a 22 ⋯ a 2 n ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ a n 1 a n 2 ⋯ a n n ) A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{pmatrix} A= ​a11​a21​⋮an1​​a12​a22​⋮an2​​⋯⋯⋱⋯​a1n​a2n​⋮ann​​ ​

矩阵 $A$ 的迹 $\text{tr}(A)$ 定义为主对角线元素的和：

$$\text{tr}(A)=a_{11}+a_{22}+\cdots +a_{nn}=\sum _{i=1}^n{a}_{ii}$$

举例说明

假设有一个 $3\times 3$ 的矩阵：

A = ( 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ) A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{pmatrix} A= ​147​258​369​ ​

矩阵 $A$ 的迹为主对角线元素 $1,5,9$ 的和：

$$\text{tr}(A)=1+5+9=15$$

矩阵迹的性质

矩阵的迹具有以下几个重要性质：

1. 线性性：

   • 对于两个 $n\times n$ 的方阵 $A$ 和 $B$，以及标量 $c$，迹具有以下性质：
     $$\text{tr}(A+B)=\text{tr}(A)+\text{tr}(B)$$
     $$\text{tr}(cA)=c\cdot \text{tr}(A)$$

2. 迹与转置：

   • 矩阵的迹与矩阵的转置具有相同的值：
     $$\text{tr}(A)=\text{tr}(A^T)$$

3. 迹与相似矩阵：

   • 如果矩阵 $A$ 和 $B$ 是相似的（即存在可逆矩阵 $P$ 使得 $B=P^{-1}AP$），那么它们的迹相等：
     $$\text{tr}(A)=\text{tr}(B)$$

4. 迹与矩阵乘积：

   • 对于两个矩阵 $A$ 和 $B$，如果矩阵乘积 $AB$ 和 $BA$ 都是定义好的方阵，则它们的迹相等：
     $$\text{tr}(AB)=\text{tr}(BA)$$

5. 迹与特征值：

   • 矩阵的迹等于矩阵所有特征值的和（包括代数重数）：
     $$\text{tr}(A)={\lambda }_1+{\lambda }_2+\cdots +{\lambda }_n$$

应用实例：图像处理中的主成分分析（PCA）

什么是主成分分析（PCA）？

主成分分析（PCA）是一种常用的数据降维方法，它通过线性变换将高维数据映射到低维空间中，同时尽量保留原始数据的方差信息。在图像处理中，PCA常用于图像压缩、特征提取等场景。

PCA中的矩阵迹应用

1. 计算图像的协方差矩阵：

   假设我们有一张灰度图像，将其展平为一维向量，并将多个图像的像素向量组成一个数据矩阵 $X$。然后，计算协方差矩阵 $\Sigma$：

   $$\Sigma =\frac{1}{n}{X}^{T}X$$

2. 计算协方差矩阵的迹：

   协方差矩阵 $\Sigma$ 的迹 $\text{tr}(\Sigma )$ 表示数据中所有变量的总方差。在图像处理中，这意味着图像中各像素间的总体方差。

   $$\text{tr}(\Sigma )=\sum _{i=1}^d{\sigma }_{ii}$$

3. 选择主成分：

   在PCA中，通过对协方差矩阵进行特征值分解，选择最大的几个特征值对应的特征向量作为主成分。协方差矩阵的迹等于所有特征值的和，因此迹可以帮助我们理解保留的方差比例。

4. 图像降维：

   通过选择少量的主成分，可以将图像数据降维到一个低维空间中，同时保留尽可能多的图像信息，这在图像压缩、特征提取等领域非常有用。

实例总结

在图像处理和统计学中，矩阵的迹作为协方差矩阵的总方差度量，帮助我们评估和理解数据的分布。在PCA中，迹用于计算和理解保留的方差比例，是图像降维、压缩和特征提取的重要工具。通过矩阵的迹，PCA能够有效地找到数据的主要特征方向，并实现数据降维，同时保留数据的关键信息。