人工智能与机器学习原理精解【18】

决策树

基础

决策树的定义

决策树（Decision Tree）是一种直观的决策分析方法，通过构成决策树来求取净现值的期望值大于等于零的概率，评价项目风险，判断其可行性。在机器学习中，决策树是一个预测模型，它表示的是对象属性与对象值之间的一种映射关系。决策树是一种树形结构，其中每个内部节点表示一个属性上的测试，每个分支代表一个测试输出，每个叶节点代表一种类别。

决策树的计算

决策树的计算过程主要包括特征选择、决策树的生成和决策树的剪枝三个步骤。

1. 特征选择：

   • 构建根节点，将所有训练数据都放在根节点。
   • 根据某种指标（如信息增益、信息增益比、基尼系数等）选择最能区分数据的特征作为当前节点的分割标准。

2. 决策树的生成：

   • 根据选择的特征将数据集分割成子集，每个子集对应特征的一个取值。
   • 如果这些子集已经能够被基本正确分类，则构建叶节点，并将这些子集分到对应的叶节点中去。
   • 如果还有子集不能被基本正确分类，则对这些子集选择新的最优特征，继续对其进行分割，构建相应的节点。
   • 重复上述过程，直到满足停止条件（如达到最大树深度、叶节点数据量小于最小样本数等）。

3. 决策树的剪枝：

   • 剪枝是对生成的决策树进行检验、校正和修剪的过程，主要是用新的样本数据集（称为测试数据集）中的数据校验决策树生成过程中产生的初步规则，将那些影响预测准确性的分枝剪除。
   • 目的是使决策树变得更简单，从而具有更好的泛化能力。

决策树的例子

假设某饭店决定投资建饭店消耗品生产厂，提出三个方案：

1. 建大厂，投资350万元。
2. 建小厂，投资170万元。
3. 建小厂，如果经营得好再扩建，扩建再投资150万元。

管理人员需要对未来10年中前4年、后6年的损益值和概率进行预测。这个案例天然适合用决策树来分析，通过构建决策树，计算各点的收益期望值，最终选择净收益期望值最大的方案。

决策树的例题

例题：某企业计划生产某种产品，设计了两个基建方案：建大厂或建小厂，使用年限均为10年。建大厂需投资300万元，如销路好每年可获利100万元，如销路差每年亏损20万元；建小厂需投资160万元，无论销路好坏，每年均可获利40万元。销路好的概率为0.6，销路差的概率为0.4。请通过决策树法选择最优方案。

解答：

1. 构建决策树：

   • 根节点为“选择基建方案”。
   • 第一个分支为“建大厂”，第二个分支为“建小厂”。
   • “建大厂”节点下再分为“销路好”和“销路差”两个子节点。

2. 计算收益期望值：

   • 建大厂销路好时的总收益为(100 imes 10 imes 0.6 = 600)万元，减去投资成本300万元，净收益为300万元。
   • 建大厂销路差时的总收益为(-20 imes 10 imes 0.4 = -80)万元，减去投资成本300万元，净收益为-380万元。
   • 建小厂的总收益为(40 imes 10 = 400)万元，减去投资成本160万元，净收益为240万元。

3. 选择最优方案：

   • 建大厂方案的期望净收益为(300 imes 0.6 + (-380) imes 0.4 = 92)万元。
   • 建小厂方案的期望净收益为(240)万元。
   • 比较两个方案的期望净收益，选择建小厂方案。

通过以上例题，可以看出决策树法在复杂决策问题中的应用及其有效性。

决策树算法

是一种常用的分类和回归方法，在机器学习中具有重要地位。下面详细解释决策树的算法过程和性质。

一、决策树的算法过程

决策树的算法过程主要包括特征选择、决策树的生成和决策树的剪枝三个步骤。

1. 特征选择

   • 目的：决定用哪个特征来划分特征空间，其目的在于选取对训练数据具有分类能力的特征，这样可以提高决策树学习的效率。
   • 方法：常用的特征选择标准包括信息增益（Information Gain）、信息增益比（Information Gain Ratio）和基尼指数（Gini Index）。
     • 信息增益：表示得知特征X的信息而使得类Y的信息的不确定性减少的程度。具体计算为集合D的经验熵H(D)与特征A给定条件下D的经验条件熵H(D|A)之差。
     • 信息增益比：是信息增益与训练数据集D关于特征A的值的熵之比，用于校正信息增益可能带来的偏好于取值较多的特征的问题。
     • 基尼指数：通过度量数据集的不纯度（或不一致性），来决定如何分裂节点。基尼指数值越大，样本集合的不确定性也就越大。

2. 决策树的生成

   • 过程：
     1. 构建根节点，将所有训练数据都放在根节点。
     2. 选择最优特征，根据特征选择标准（如信息增益、信息增益比或基尼指数）对数据进行分割。
     3. 生成内部节点，对分割后的每个子集递归地调用上述过程，生成相应的子节点。
     4. 当满足停止条件（如所有样本属于同一类、没有剩余属性可以用来进一步划分样本等）时，生成叶节点。

3. 决策树的剪枝

   • 目的：简化决策树模型，防止过拟合，提高模型的泛化能力。
   • 方法：
     • 预剪枝：在决策树生成过程中，提前停止树的生长。具体做法是在树的生长过程中设定一个指标，当达到该指标时就停止生长。但这种方法可能产生“视界局限”，即一旦停止分支，就断绝了其后继节点进行“好”的分支操作的可能性。
     • 后剪枝：首先让决策树充分生长，直到叶节点都有最小的不纯度值为止。然后，对所有相邻的成对叶节点考虑是否消去它们，如果消去能引起令人满意的不纯度增长，则执行消去，并令它们的公共父节点成为新的叶节点。这种方法克服了“视界局限”效应，但需要更大的计算量。

二、决策树的性质

1. 直观性：决策树模型呈树形结构，易于理解和解释，甚至比线性回归更直观。模型可以通过树的形式进行可视化展示。

2. 分类速度快：决策树在分类时，从根节点开始，按照特征值逐步向下遍历，直到达到叶节点，获得分类结果。这个过程非常高效。

3. 鲁棒性：决策树对噪声数据有很好的健壮性，能够处理含缺失值的数据。

4. 多输出处理：决策树仅有单一输出，但可以通过建立独立的决策树来处理不同输出的问题。

5. 过拟合问题：决策树容易出现过拟合现象，即模型在训练集上表现很好，但在测试集上表现不佳。这通常通过剪枝技术来解决。

6. 路径性质：决策树的路径性质是互斥并且完备的，即每一个实例都被有且仅有一条路径或规则所覆盖。

综上所述，决策树算法通过特征选择、决策树生成和决策树剪枝三个步骤构建模型，具有直观性、分类速度快、鲁棒性等优点，但也存在过拟合等问题。在实际应用中，需要根据具体问题选择合适的算法参数和剪枝策略。

Julia中实现框架

在Julia中实现决策树，我们可以利用Julia的强大数值计算和面向对象编程能力。下面是一个简单的决策树实现的框架，包括决策树的节点定义、树的构建和预测功能。

首先，我们需要定义决策树的节点。在决策树中，每个节点要么是一个内部节点（包含特征和分割点），要么是一个叶节点（包含类别标签）。

abstract type TreeNode end

mutable struct InternalNode <: TreeNode
    feature::Int
    threshold::Float64
    left::TreeNode
    right::TreeNode
end

mutable struct LeafNode <: TreeNode
    value::Any # 可以是类别标签、回归值等
end

接下来，我们需要定义一些辅助函数，如计算信息增益、分割数据集等。这里为了简化，我们假设处理的是分类问题，并使用信息增益作为特征选择的标准。

function calculate_information_gain(data, labels, feature, threshold)
    # 这里需要实现信息增益的计算
    # data是数据集，labels是标签，feature是要分割的特征索引，threshold是分割点
    # 返回信息增益的值
    # 注意：这个函数需要你自己实现，包括熵的计算和信息增益的计算
end

function split_data(data, labels, feature, threshold)
    left_data = []
    left_labels = []
    right_data = []
    right_labels = []
    
    for i in 1:length(data)
        if data[i][feature] <= threshold
            push!(left_data, data[i])
            push!(left_labels, labels[i])
        else
            push!(right_data, data[i])
            push!(right_labels, labels[i])
        end
    end
    
    return left_data, left_labels, right_data, right_labels
end

现在，我们可以定义构建决策树的函数了。这个函数将递归地构建决策树，直到满足停止条件（如所有样本都属于同一类、没有剩余特征可以用来分割等）。

function build_tree(data, labels, features)
    # 检查是否所有样本都属于同一类
    if all(labels .== labels[1])
        return LeafNode(labels[1])
    end
    
    # 如果没有剩余特征可以用来分割，返回众数作为叶节点
    if isempty(features)
        most_common = most_common_value(labels) # 这个函数需要你自己实现，用于返回标签中的众数
        return LeafNode(most_common)
    end
    
    # 选择最佳特征和分割点
    best_feature = -1
    best_threshold = -1
    max_info_gain = -1
    
    for feature in features
        thresholds = unique(map(x -> x[feature], data)) # 获取当前特征的所有唯一值作为可能的分割点
        for threshold in thresholds
            info_gain = calculate_information_gain(data, labels, feature, threshold)
            if info_gain > max_info_gain
                max_info_gain = info_gain
                best_feature = feature
                best_threshold = threshold
            end
        end
    end
    
    # 使用最佳特征和分割点分割数据
    left_data, left_labels, right_data, right_labels = split_data(data, labels, best_feature, best_threshold)
    
    # 递归构建左右子树
    left_tree = build_tree(left_data, left_labels, setdiff(features, [best_feature]))
    right_tree = build_tree(right_data, right_labels, setdiff(features, [best_feature]))
    
    return InternalNode(best_feature, best_threshold, left_tree, right_tree)
end

最后，我们需要定义预测函数，用于对新样本进行预测。

function predict(tree, sample)
    if tree isa LeafNode
        return tree.value
    else
        if sample[tree.feature] <= tree.threshold
            return predict(tree.left, sample)
        else
            return predict(tree.right, sample)
        end
    end
end

请注意，上面的代码框架中有一些函数（如calculate_information_gain、most_common_value等）需要你自己实现。此外，这个实现是为了演示目的而简化的，并没有包含所有可能的优化和错误处理。在实际应用中，可能需要根据具体需求对代码进行调整和优化。
在Julia中，虽然标准库并没有直接提供决策树的实现，但你可以使用第三方库如DecisionTree.jl或其他机器学习库（如MLJ.jl）中的决策树模型。以下是使用这些库的一些基本示例。

使用 DecisionTree.jl

首先，你需要安装DecisionTree.jl包。你可以使用Julia的包管理器（Pkg）来安装它：

using Pkg
Pkg.add("DecisionTree")

安装完成后，你可以使用以下代码来构建和训练一个简单的决策树模型：

using DecisionTree

# 假设你有以下训练数据
features = [
    [1, 2],
    [2, 3],
    [3, 3],
    [4, 5],
    [5, 4]
]

labels = ["A", "A", "B", "B", "B"]

# 构建决策树模型
tree = build_tree(features, labels)

# 对新样本进行预测
new_sample = [3, 2]
prediction = predict(tree, new_sample)
println("Prediction for new sample: $prediction")

# 可视化决策树（如果需要的话，你需要安装GraphPlot.jl等可视化库）
# using GraphPlot
# plot(tree) # 这行代码可能需要根据实际情况进行调整，因为直接绘图可能需要额外的处理

请注意，DecisionTree.jl库的具体API可能会随着版本的更新而发生变化，因此你可能需要查阅该库的文档以获取最新信息。

使用 MLJ.jl

MLJ.jl是Julia中的一个机器学习框架，它提供了许多机器学习算法和工具，包括决策树。以下是如何使用MLJ.jl来训练决策树模型的示例：

using Pkg
Pkg.add("MLJ")
Pkg.add("MLJDecisionTree") # 决策树的具体实现

using MLJ
using MLJDecisionTree # 导入决策树算法

# 定义数据和标签
X = [
    1, 2;
    2, 3;
    3, 3;
    4, 5;
    5, 4
]
y = categorical(["A", "A", "B", "B", "B"])

# 将数据拆分为训练集和测试集（这里我们直接使用全部数据作为训练集）
train_data = MLJ.DataFrame(X=X, y=y)

# 定义决策树模型
decision_tree = DecisionTreeClassifier()

# 定义管道（这里直接使用模型，没有额外的预处理或转换）
pipeline = Pipeline(model=decision_tree)

# 训练模型
trained_pipeline = fit(pipeline, train_data)

# 对新样本进行预测
new_sample = MLJ.DataFrame(X=[3, 2]') # 注意新样本的格式需要匹配训练数据
prediction = predict(trained_pipeline, new_sample)
println("Prediction for new sample: $prediction")

# 评估模型（可选）
# 这里我们没有测试集，所以只是展示如何评估
# accuracy = evaluate(trained_pipeline, train_data, resampling=CV(nfolds=5), metric=accuracy)
# println("Accuracy: $accuracy")

在上面的代码中，我们使用了MLJ.DataFrame来包装数据和标签，这是因为MLJ.jl期望数据以这种格式提供。我们还定义了一个DecisionTreeClassifier模型，并将其包装在一个Pipeline中（尽管在这个简单例子中，管道中只有模型本身）。然后，我们使用fit函数来训练模型，并使用predict函数对新样本进行预测。

Julia包的教程

一、了解Julia包生态系统

Julia拥有一个活跃的包生态系统，其中包含了大量的库和工具，涵盖了科学计算、数据分析、机器学习、可视化等多个领域。这些包通过Julia的包管理器Pkg进行管理和分发。

二、安装Julia包

1. 打开Julia REPL

首先，你需要打开Julia的REPL（Read-Eval-Print Loop，交互式编程环境）。在命令行中输入julia即可启动。

2. 使用Pkg包管理器

在Julia REPL中，你可以通过输入]进入Pkg模式，这是一个专门为包管理设计的环境。在Pkg模式下，你可以执行以下操作来安装、更新或卸载包：

• 安装包：使用add命令。例如，要安装一个名为Plots.jl的可视化包，你可以输入add Plots。
• 更新包：使用up或update命令。这将更新所有已安装的包到最新版本，或者你可以指定包名来更新特定包。
• 卸载包：使用rm或remove命令。例如，要卸载Plots.jl包，你可以输入rm Plots。

三、使用Julia包

安装完包之后，你就可以在Julia代码中导入并使用它了。通常，你需要使用using或import语句来导入包。例如，要使用Plots.jl包进行绘图，你需要先导入它：

using Plots

然后，你就可以按照包的文档来使用它提供的功能了。

四、查找和了解Julia包

1. Julia官方文档

Julia的官方文档（https://docs.julialang.org/）是了解Julia及其包生态系统的最佳起点。其中包含了关于包管理器的详细说明，以及许多官方推荐的包和工具的文档。

2. JuliaHub

JuliaHub（https://juliahub.com/）是一个在线平台，你可以在这里搜索、浏览和发现Julia包。它提供了包的详细信息、文档链接、版本历史以及用户评价等。

3. GitHub

许多Julia包都托管在GitHub上。通过访问包的GitHub仓库，你可以查看包的源代码、问题跟踪器、贡献指南等，这对于深入了解包的工作原理和如何贡献代码非常有帮助。

五、注意事项

• 在安装和使用Julia包时，请确保你的Julia版本与包的版本兼容。
• 不同的包可能有不同的依赖关系，因此在安装新包时，Pkg管理器可能会自动安装或更新其他包以满足依赖要求。
• 如果你在使用包时遇到问题，请首先查看包的文档和常见问题解答（FAQ），然后考虑在包的GitHub仓库中搜索或报告问题。

参考文献

1.文心一言