力扣第213题“打家劫舍 II”

在本篇文章中，我们将详细解读力扣第213题“打家劫舍 II”。通过学习本篇文章，读者将掌握如何使用动态规划来解决这一问题，并了解相关的复杂度分析和模拟面试问答。每种方法都将配以详细的解释，以便于理解。

问题描述

力扣第213题“打家劫舍 II”描述如下：

你是一个专业的小偷，计划偷窃沿街的房屋，每间房内都藏有一定的现金。这一整条街的所有房屋都围成一圈，这意味着第一个房屋和最后一个房屋是紧挨着的。同时，相邻的房屋装有相互连通的防盗系统，如果两间相邻的房屋在同一晚上被小偷闯入，系统会自动报警。

给定一个代表每个房屋存放金额的非负整数数组，计算你在不触动警报装置的情况下，能够偷窃到的最高金额。

示例:

输入：nums = [2,3,2]
输出：3
解释：你不能同时偷窃 1 号房屋（金额 = 2）和 3 号房屋（金额 = 2），所以最高金额来自 2 号房屋（金额 = 3）。

示例:

输入：nums = [1,2,3,1]
输出：4
解释：你可以先偷窃 1 号房屋（金额 = 1），然后偷窃 3 号房屋（金额 = 3）。偷窃到的最高金额 = 1 + 3 = 4 。

示例:

输入：nums = [0]
输出：0

解题思路

方法：动态规划

1. 初步分析：

   • 由于房屋是环形排列的，我们可以将问题分解为两个线性问题来解决：
     • 偷窃从第一个房屋到倒数第二个房屋。
     • 偷窃从第二个房屋到最后一个房屋。
   • 取这两个情况的最大值即为结果。

2. 步骤：

   • 定义一个辅助函数 rob_linear 用于计算线性排列房屋的最高偷窃金额。
   • 分别计算不偷窃最后一个房屋的情况和不偷窃第一个房屋的情况。
   • 返回这两个情况的最大值。

代码实现

def rob(nums):
    def rob_linear(nums):
        prev, curr = 0, 0
        for num in nums:
            prev, curr = curr, max(curr, prev + num)
        return curr
    
    if len(nums) == 1:
        return nums[0]
    
    return max(rob_linear(nums[:-1]), rob_linear(nums[1:]))

# 测试案例
print(rob([2,3,2]))  # 输出: 3
print(rob([1,2,3,1]))  # 输出: 4
print(rob([0]))  # 输出: 0

复杂度分析

• 时间复杂度：O(n)，其中 n 是数组的长度。需要遍历两次数组。
• 空间复杂度：O(1)，只使用了常数个额外空间。

模拟面试问答

问题 1：你能描述一下如何解决这个问题的思路吗？

回答：由于房屋是环形排列的，我们可以将问题分解为两个线性问题来解决。分别计算不偷窃最后一个房屋的情况和不偷窃第一个房屋的情况，取这两个情况的最大值即为结果。我们使用动态规划来解决这两个线性问题。

问题 2：为什么选择使用动态规划来解决这个问题？

回答：动态规划是一种优化算法，通过将大问题分解为小问题，逐步解决并存储小问题的解，可以高效地解决问题。对于线性排列的房屋偷窃问题，动态规划能够在 O(n) 的时间复杂度内找到最高的偷窃金额。

问题 3：你的算法的时间复杂度和空间复杂度是多少？

回答：算法的时间复杂度为 O(n)，其中 n 是数组的长度。需要遍历两次数组。空间复杂度为 O(1)，只使用了常数个额外空间。

问题 4：在代码中如何处理边界情况？

回答：对于只有一个房屋的情况，直接返回该房屋的金额。对于其他情况，通过分解为两个线性问题来处理，分别计算不偷窃最后一个房屋的情况和不偷窃第一个房屋的情况。

问题 5：你能解释一下动态规划的工作原理吗？

回答：动态规划通过将大问题分解为小问题，逐步解决并存储小问题的解，从而高效地解决问题。在这个问题中，我们通过定义两个状态变量 prev 和 curr，分别表示前一个房屋和当前房屋的最高偷窃金额，逐步计算线性排列房屋的最高偷窃金额。

问题 6：在代码中如何确保返回的结果是正确的？

回答：通过分解问题为两个线性问题，分别计算不偷窃最后一个房屋的情况和不偷窃第一个房屋的情况，确保返回的结果是正确的。可以通过测试案例验证结果。

问题 7：你能举例说明在面试中如何回答优化问题吗？

回答：在面试中，如果面试官问到如何优化算法，我会首先分析当前算法的瓶颈，如时间复杂度和空间复杂度，然后提出优化方案。例如，可以通过减少不必要的操作和优化数据结构来提高性能。解释其原理和优势，最后提供优化后的代码实现。

问题 8：如何验证代码的正确性？

回答：通过运行代码并查看结果，验证返回的最高偷窃金额是否正确。可以使用多组测试数据，包括正常情况和边界情况，确保代码在各种情况下都能正确运行。例如，可以在测试数据中包含多个房屋和不同的金额，确保代码结果正确。

问题 9：你能解释一下解决打家劫舍问题的重要性吗？

回答：解决打家劫舍问题在动态规划和算法设计中具有重要意义。通过学习和应用动态规划，可以提高处理复杂问题和优化问题的能力。在实际应用中，打家劫舍问题广泛用于资源分配、投资决策和项目管理等领域。

问题 10：在处理大数据集时，算法的性能如何？

回答：算法的性能取决于房屋的数量。在处理大数据集时，通过优化动态规划的实现，可以显著提高算法的性能。例如，通过减少不必要的操作和优化状态变量，可以减少时间和空间复杂度，从而提高算法的效率。

总结

本文详细解读了力扣第213题“打家劫舍 II”，通过使用动态规划的方法高效地解决了这一问题，并提供了详细的解释和模拟面试问答。希望读者通过本文的学习，能够在力扣刷题的过程中更加得心应手。