动态规划求解背包问题
代码以及详细描述:
package cn.edu.xmu.acm.dp;
/**
* 求解背包问题：
* 给定 n 个背包，其重量分别为 w1,w2,……,wn, 价值分别为 v1,v2,……,vn
* 要放入总承重为 totalWeight 的箱子中，
* 求可放入箱子的背包价值总和的最大值。
*
* NOTE: 使用动态规划法求解 背包问题
* 设 前 n 个背包，总承重为 j 的最优值为 v[n,j], 最优解背包组成为 b[n];
* 求解最优值：
* 1. 若 j < wn, 则 ： v[n,j] = v[n-1,j];
* 2. 若 j >= wn, 则：v[n,j] = max{v[n-1,j], vn + v[n-1,j-wn]}。
*
* 求解最优背包组成：
* 1. 若 v[n,j] > v[n-1,j] 则 背包 n 被选择放入 b[n],
* 2. 接着求解前 n-1 个背包放入 j-wn 的总承重中，
* 于是应当判断 v[n-1, j-wn] VS v[n-2,j-wn], 决定 背包 n-1 是否被选择。
* 3. 依次逆推，直至总承重为零。
*
* 重点： 掌握使用动态规划法求解问题的分析方法和实现思想。
* 分析方法： 问题实例 P(n) 的最优解S(n) 蕴含 问题实例 P(n-1) 的最优解S(n-1);
* 在S(n-1)的基础上构造 S(n)
* 实现思想： 自底向上的迭代求解 和 基于记忆功能的自顶向下递归
*/
import java.util.ArrayList;
public class KnapsackDP {
/** 指定背包 */
private Knapsack[] bags;
/** 总承重 */
private int totalWeight;
/** 给定背包数量 */
private int n;
/** 前 n 个背包，总承重为 totalWeight 的最优值矩阵 */
private int[][] bestValues;
/** 前 n 个背包，总承重为 totalWeight 的最优值 */
private int bestValue;
/** 前 n 个背包，总承重为 totalWeight 的最优解的物品组成 */
private ArrayList<Knapsack> bestSolution;
public KnapsackDP(Knapsack[] bags, int totalWeight) {
this.bags = bags;
this.totalWeight = totalWeight;
this.n = bags.length;
if (bestValues == null) {
bestValues = new int[n+1][totalWeight+1];
}
}
/**
* 求解前 n 个背包、给定总承重为 totalWeight 下的背包问题
*
*/
public void solve() {
System.out.println("给定背包：");
for(Knapsack b: bags) {
System.out.println(b);
}
System.out.println("给定总承重: " + totalWeight);
// 求解最优值
for (int j = 0; j <= totalWeight; j++) {
for (int i = 0; i <= n; i++) {
if (i == 0 || j == 0) {
bestValues[i][j] = 0;
}
else
{
// 如果第 i 个背包重量大于总承重，则最优解存在于前 i-1 个背包中，
// 注意：第 i 个背包是 bags[i-1]
if (j < bags[i-1].getWeight()) {
bestValues[i][j] = bestValues[i-1][j];
}
else
{
// 如果第 i 个背包不大于总承重，则最优解要么是包含第 i 个背包的最优解，
// 要么是不包含第 i 个背包的最优解， 取两者最大值，这里采用了分类讨论法
// 第 i 个背包的重量 iweight 和价值 ivalue
int iweight = bags[i-1].getWeight();
int ivalue = bags[i-1].getValue();
bestValues[i][j] =
Math.max(bestValues[i-1][j], ivalue + bestValues[i-1][j-iweight]);
} // else
} //else
} //for
} //for
// 求解背包组成
if (bestSolution == null) {
bestSolution = new ArrayList<Knapsack>();
}
int tempWeight = totalWeight;
for (int i=n; i >= 1; i--) {
if (bestValues[i][tempWeight] > bestValues[i-1][tempWeight]) {
bestSolution.add(bags[i-1]); // bags[i-1] 表示第 i 个背包
tempWeight -= bags[i-1].getWeight();
}
if (tempWeight == 0) { break; }
}
bestValue = bestValues[n][totalWeight];
}
/**
* 获得前 n 个背包， 总承重为 totalWeight 的背包问题的最优解值
* 调用条件： 必须先调用 solve 方法
*
*/
public int getBestValue() {
return bestValue;
}
/**
* 获得前 n 个背包， 总承重为 totalWeight 的背包问题的最优解值矩阵
* 调用条件： 必须先调用 solve 方法
*
*/
public int[][] getBestValues() {
return bestValues;
}
/**
* 获得前 n 个背包， 总承重为 totalWeight 的背包问题的最优解值矩阵
* 调用条件： 必须先调用 solve 方法
*
*/
public ArrayList<Knapsack> getBestSolution() {
return bestSolution;
}
}
package cn.edu.xmu.acm.dp;
public class TestKnapsackDP {
public static void main(String[] args) {
Knapsack[] bags = new Knapsack[] {
new Knapsack(2,13), new Knapsack(1,10),
new Knapsack(3,24), new Knapsack(2,15),
new Knapsack(4,28), new Knapsack(5,33),
new Knapsack(3,20), new Knapsack(1, 8)
};
int totalWeight = 12;
KnapsackDP kp = new KnapsackDP(bags, totalWeight);
kp.solve();
System.out.println(" -------- 该背包问题实例的解: --------- ");
System.out.println("最优值：" + kp.getBestValue());
System.out.println("最优解【选取的背包】: ");
System.out.println(kp.getBestSolution());
System.out.println("最优值矩阵：");
int[][] bestValues = kp.getBestValues();
for (int i=0; i < bestValues.length; i++) {
for (int j=0; j < bestValues[i].length; j++) {
System.out.printf("%-5d", bestValues[i][j]);
}
System.out.println();
}
}
}
package cn.edu.xmu.acm.dp;
public class Knapsack {
/** 背包重量 */
private int weight;
/** 背包物品价值 */
private int value;
/***
* 构造器
*/
public Knapsack(int weight, int value) {
this.value = value;
this.weight = weight;
}
public int getWeight() {
return weight;
}
public int getValue() {
return value;
}
public String toString() {
return "[weight: " + weight + " " + "value: " + value + "]";
}
}