最长递增子序列_python_算法与数据结构

     周末了,实验室的网速还是不给力啊,不知道doctors都在干啥,,,最近都在做算法作业,昨天晚上看了一部电影《将爱进行到底》,刚打开电影没多久就听到了很熟悉的旋律,让我很是惊讶,这竟然就是电视版的那首主旋律,十几年过去了,徐静蕾从初出茅庐到现在成为了老徐,我也从黄毛丫头到现在成为了男子汉,浮生若梦,岁月流沙。将爱电影的主题曲《因为爱情》很好听,王菲的声音空灵虚无缥缈,与陈奕迅共同演绎了一首温馨甜蜜的歌曲。

    言归正传,到算法上来了,最长递增子序列问题在这里不再啰嗦了,不懂的自己baidu去,不过我更喜欢google,呵呵。个人的爱好吧。

    最长递增子序列有两种解法,一种是借助前面的LCS算法,另外是本文要写的另外一种方法。

   1.LCS

      LCS算法比较的是任意两个序列的最长公共子序列,在最长递增子序列中,我们将原序列A首先升序排列得到B,然后将A和B求LCS就可以达到目的。在这里不再赘述,有关LCS算法,可以参见前面的文章。

   2.网上流传两种版本的最长递增子序列算法,http://hi.baidu.com/newmyl/blog/item/12f15e97ac88b06854fb965d.html连接对这个算法进行了深入的分析。我个人比较赞同http://www.felix021.com/blog/read.php?1587&guid=5的分析(http://blog.csdn.net/fisher_jiang/archive/2008/05/13/2442348.aspx也对这个算法进行了分析但是本人觉得比较晦涩难懂,C++STL我不习惯,高手自己揣摩吧~~~~),摘录如下:

假设存在一个序列d[1..9] = 2 1 5 3 6 4 8 9 7,可以看出来它的LIS长度为5。
下面一步一步试着找出它。
我们定义一个序列B,然后令 i = 1 to 9 逐个考察这个序列。
此外,我们用一个变量Len来记录现在最长算到多少了
首先,把d[1]有序地放到B里,令B[1] = 2,就是说当只有1一个数字2的时候,长度为1的LIS的最小末尾是2。这时Len=1
然后,把d[2]有序地放到B里,令B[1] = 1,就是说长度为1的LIS的最小末尾是1,d[1]=2已经没用了,很容易理解吧。这时Len=1
接着,d[3] = 5,d[3]>B[1],所以令B[1+1]=B[2]=d[3]=5,就是说长度为2的LIS的最小末尾是5,很容易理解吧。这时候B[1..2] = 1, 5,Len=2
再来,d[4] = 3,它正好加在1,5之间,放在1的位置显然不合适,因为1小于3,长度为1的LIS最小末尾应该是1,这样很容易推知,长度为2的LIS最小末尾是3,于是可以把5淘汰掉,这时候B[1..2] = 1, 3,Len = 2
继续,d[5] = 6,它在3后面,因为B[2] = 3, 而6在3后面,于是很容易可以推知B[3] = 6, 这时B[1..3] = 1, 3, 6,还是很容易理解吧? Len = 3 了噢。
第6个, d[6] = 4,你看它在3和6之间,于是我们就可以把6替换掉,得到B[3] = 4。B[1..3] = 1, 3, 4, Len继续等于3
第7个, d[7] = 8,它很大,比4大,嗯。于是B[4] = 8。Len变成4了
第8个, d[8] = 9,得到B[5] = 9,嗯。Len继续增大,到5了。
最后一个, d[9] = 7,它在B[3] = 4和B[4] = 8之间,所以我们知道,最新的B[4] =7,B[1..5] = 1, 3, 4, 7, 9,Len = 5。
于是我们知道了LIS的长度为5。
!!!!! 注意。这个1,3,4,7,9不是LIS,它只是存储的对应长度LIS的最小末尾。有了这个末尾,我们就可以一个一个地插入数据。虽然最后一个d[9] = 7更新进去对于这组数据没有什么意义,但是如果后面再出现两个数字 8 和 9,那么就可以把8更新到d[5], 9更新到d[6],得出LIS的长度为6。
然后应该发现一件事情了: 在B中插入数据是有序的,而且是进行替换而不需要挪动——也就是说,我们可以使用二分查找,将每一个数字的插入时间优化到O(logN)~~~~~于是算法的时间复杂度就降低到了O(NlogN)~!

个人觉得他的分析十分清晰明了,真正能让我们知道动态规划算法的过程。按照这种思路,我实现了Python版本的LIS算法:

#最长单调递增子序列

def LIS(B, d, n):

    left = right = mid =  len = 1

    B[0] = d[0]   # //从0开始计数

    for i in range(1, n):

        left = 0

        right = len

        while(left <= right):

            mid = (left + right) // 2

            if(B[mid] < d[i]):

                left = mid + 1 #二分查找d[i]的插入位置

            else:

                right = mid - 1

        B[left] = d[i] #插入

        if(left > len) :

            len = len +1 #更新length

    return len



if '__name__ = __main__' :

    d = [2 , 1 , 5 , 3 , 6,  4,  8,  9,  7]  

    B=[0]*len(d)  #初始化B数组

    print(LIS(B, d, len(d)))



 

输出结果:

Python 3.2 (r32:88445, Feb 20 2011, 21:29:02) [MSC v.1500 32 bit (Intel)] on CHENX, Threaded
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