poj1637

混合图的欧拉回路。

dinic邻接表形式模版。

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  3  * 混合图的欧拉回路问题

  4 

  5 欧拉回路问题。

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  7 1 定义 欧拉通路 (Euler tour)——通过图中每条边一次且仅一次，并且过每一顶点的通路。 欧拉回路 (Euler  circuit)——通过图中每条边一次且仅一次，并且过每一顶点的回路。 欧拉图——存在欧拉回路的图。

  8 

  9 2 无向图是否具有欧拉通路或回路的判定 G有欧拉通路的充分必要条件为：G 连通，G中只有两个奇度顶点(它们分别是欧拉通路的两个端点)。 G有欧拉回路(G为欧拉图)：G连通，G中均为偶度顶点。

 10 

 11 3 有向图是否具有欧拉通路或回路的判定 D有欧拉通路：D连通，除两个顶点外，其余顶点的入度均等于出度，这两个特殊的顶点中，一个顶点的入度比出度大1，另一个顶点的入度比出度小1。 D有欧拉回路(D为欧拉图)：D连通，D中所有顶点的入度等于出度。

 12 

 13 4 混合图。混合图也就是无向图与有向图的混合，即图中的边既有有向边也有无向边。

 14 

 15 5 混合图欧拉回路 混合图欧拉回路用的是网络流。

 16 

 17  把该图的无向边随便定向，计算每个点的入度和出度。如果有某个点出入度之差为奇数，那么肯定不存在欧拉回路。因为欧拉回路要求每点入度 = 出度，也就是总度数为偶数，存在奇数度点必不能有欧拉回路。 现在每个点入度和出度之差均为偶数。将这个偶数除以 2，得 x。即是说，对于每一个点，只要将 x 条边反向（入>出就是变入，出>入就是变出），就能保证出 = 入。如果每个点都是出 = 入，那么很明显，该图就存在欧拉回路。 现在的问题就变成了：该改变哪些边，可以让每个点出 = 入？构造网络流模型。有向边不能改变方向，直接删掉。开始已定向的无向边，定的是什么向，就把网络构建成什么样，边长容量上限 1。另新建 s 和 t。对于入 > 出的点 u，连接边(u, t)、容量为 x，对于出 > 入的点 v，连接边(s, v)，容量为 x（注意对不同的点x不同）。之后，察看是否有满流的分配。有就是能有欧拉回路，没有就是没有。查看流值分配，将所有流量非 0（上限是 1，流值不是 0 就是1）的边反向，就能得到每点入度 = 出度的欧拉图。 由于是满流，所以每个入 > 出的点，都有 x 条边进来，将这些进来的边反向，OK，入 = 出了。对于出 > 入的点亦然。那么，没和 s、t 连接的点怎么办？和s 连接的条件是出 > 入，和 t 连接的条件是入 > 出，那么这个既没和 s 也没和 t 连接的点，自然早在开始就已经满足入 = 出了。那么在网络流过程中，这些点属于“中间点”。我们知道中间点流量不允许有累积的，这样，进去多少就出来多少，反向之后，自然仍保持平衡。 所以，就这样，混合图欧拉回路问题，解了。

 18 ******************************************/

 19 #include <iostream>

 20 #include <cstdio>

 21 #include <cstring>

 22 #include <cmath>

 23 #include <algorithm>

 24 #include <queue>

 25 using namespace std;

 26 #define N 205

 27 #define M 4050

 28 #define inf 0x3f3f3f3f

 29 

 30 struct edge

 31 {

 32     int v,flow,next;

 33 };

 34 edge e[M];

 35 int head[N],total;

 36 int in[N];//度

 37 int dis[N];

 38 

 39 void init()

 40 {

 41     //fill(head,head+N,-1);

 42     //fill(in,in+N,0);

 43     memset(head,-1,sizeof(head));

 44     memset(in,0,sizeof(in));

 45     total=0;

 46 }

 47 void add(int u,int v,int val)

 48 {

 49     e[total].v=v,e[total].flow=val,e[total].next=head[u],head[u]=total++;

 50     e[total].v=u,e[total].flow=0,e[total].next=head[v],head[v]=total++;

 51 }

 52 bool bfs(int st,int en)

 53 {

 54     memset(dis,0,sizeof(dis));

 55     queue<int>q;

 56     q.push(st);

 57     dis[st]=1;

 58     while(!q.empty())

 59     {

 60         int u=q.front();q.pop();

 61         if(u==en) return true;

 62         for(int i=head[u];i>=0;i=e[i].next)

 63         {

 64             int v=e[i].v;

 65             if(e[i].flow && dis[v]==0)

 66             {

 67                 dis[v]=dis[u]+1;

 68                 q.push(v);

 69             }

 70         }

 71     }

 72     return false;

 73 }

 74 int dfs(int u,int cur_flow,int en)

 75 {

 76     if(u==en) return cur_flow;

 77     int sum=0;

 78     for(int i=head[u];i>=0 && sum<cur_flow;i=e[i].next)

 79     {

 80         int v=e[i].v;

 81         if(e[i].flow >0 && dis[v]==dis[u]+1)

 82         {

 83             int tmp=dfs(v,min(cur_flow-sum,e[i].flow),en);

 84             e[i].flow-=tmp;

 85             e[i^1].flow+=tmp;

 86             sum+=tmp;

 87         }

 88     }

 89     if(!sum) dis[u]=0;

 90     return sum;

 91 }

 92 

 93 int dinic(int st,int en)

 94 {

 95     int ans=0;

 96     int tmp;

 97     while(bfs(st,en))

 98     {

 99         while(tmp=dfs(st,inf,en))

100             ans+=tmp;

101     }

102     return ans;

103 }

104 int main()

105 {

106     int  tcase,n,m,sum,flag;

107     int u,v,c;

108     scanf("%d",&tcase);

109     while(tcase--)

110     {

111         init();

112         sum=0;

113         scanf("%d%d",&n,&m);

114         while(m--)

115         {

116             scanf("%d%d%d",&u,&v,&c);

117             --in[u],++in[v];

118             if(!c)

119                 add(u,v,1);

120         }

121         flag=true;

122         for(int i=1;i<=n;i++)

123         {

124             if(in[i]&1)

125             {

126                 flag=false;

127                 break;

128             }

129         }

130         if(flag)

131         {

132             for(int i=1;i<=n;i++)

133             {

134                 if(in[i]<0)

135                     add(0,i,(-in[i])>>1);

136                 if(in[i]>0)

137                 {

138                     add(i,n+1,in[i]>>1);

139                     sum+=(in[i]>>1);

140                 }

141             }

142             flag=(sum==dinic(0,n+1));

143         }

144         if(flag)

145             puts("possible");

146         else

147             puts("impossible");

148     }

149     return 0;

150 }