CEOI 2004 锯木场选址（DP + 斜率优化经典）

题意：

有 n 棵树，从山顶排到山脚，山脚下有个伐木场，你也可以在路上建两个伐木场，问将所有树砍下运到伐木场的最小费用，树只能往下运。

题目链接：http://cojs.tk/cogs/problem/problem.php?pid=362

思路：

1. “用单调性优化动态规划”论文中有关于类似题目的论述，不过公式不太一样，本题需要自行推导；

2. 代码中变量的定义说明：w[i] 表示 1~i 树木重量总和，x[i] 表示树木 i 距离树木 1 的距离；（推导过程中 w 为树重量，sumw 为1~i 树木重量总和）；

3. F(i) = w1 * (xj - x1) + w2 * (xj - x2) + ... + wj * (xj - xj)

        + w_j+1 * （xi - x_j+1) + w_j+2 * （xi - x_j+2) + ... + wi * （xi - xi) 

        + w_i+1 * （x_n+1 - x_i+1) + w_i+2 * （x_n+1 - x_i+2) + ... + wn * （x_n+1 - xn);

4. 化简可得：F(i) = delta + Y - a * X; 其中 a = xi, X = sumwj, Y = sumwj * xj

5. 由公式可以看出当 i 固定时，delta, a 为常数，对于 X, Y 选定一点使 F(i) 最小即可。对于 X, Y 可以利用下凸函数的特性，用队列来维护，具体就不阐述了。

 

#include <iostream>

#include <algorithm>

#include <stdio.h>

using namespace std;



const int MAXN = 20010;

const int INFS = 0x7fffffff;



int w[MAXN], d[MAXN], x[MAXN], deq[MAXN];



inline double slope(int i, int j)

{

    return 1.0 * (w[i] * x[i] - w[j] * x[j]) / (w[i] - w[j]);

}



int main()

{

    freopen("two.in","r",stdin);

    freopen("two.out","w",stdout);



    int n;

    scanf("%d\n", &n);



    for (int i = 1; i <= n; ++i)

        scanf("%d %d", &w[i], &d[i]);



    w[0] = d[0] = x[1] = 0;

    int sum = 0;

    for (int i = 1; i <= n; ++i)

    {

        x[i+1] = x[i] + d[i];

        sum += x[i] * w[i], w[i] += w[i-1];

    }



    int ans = INFS;

    int s = 0, e = -1;

    for (int i = 1; i <= n; ++i)

    {

        while (s < e && slope(deq[e], deq[e-1]) >= slope(i, deq[e]))

            --e;

        deq[++e] = i;

        while (s < e && slope(deq[s], deq[s+1]) <= x[i])

            ++s;



        int delta = -sum + w[i] * x[i] + (w[n] - w[i]) * x[n+1];

        ans = min(ans, delta + w[deq[s]] * x[deq[s]] - x[i] * w[deq[s]]);

    }

    printf("%d\n", ans);



    fclose(stdin);

    fclose(stdout);

    return 0;

}