HDU 4834 JZP Set（数论+递推）（2014年百度之星程序设计大赛 - 初赛（第二轮））

Problem Description

一个{1, ..., n}的子集S被称为JZP集，当且仅当对于任意S中的两个数x,y，若(x+y)/2为整数，那么(x+y)/2也属于S。
例如，n=3，S={1,3}不是JZP集，因为(1+3)/2=2不属于S。但是{1,2,3}的其他子集都属于S，所以n=3时有7个JZP集
给定n，求JZP集的个数。

 

Input

第一行为T，表示输入数据组数。
每组数据包含一行整数n。

限制条件
1<=T<=10^5
1<=n<=10^7

 

Output

对第i组数据，输出
Case #i:
然后输出JZP集的个数。

 

题目大意：略。

思路：考虑到n高达10^7，而T也不小，选择递推预处理出所有答案。

观察(x+y)/2，对集合里的每个数都有这种规律的话，能想到类似的东西就是等差数列。

令ans[i]代表集合[1..i]的JZP子集（空集也算的），那么有ans[i] = ans[i - 1] + count(包含i的[1..i]的JZP子集)。

那么令p[i] = 包含i的[1..i]的JZP子集个数。考虑包含i的等差数列，可以发现等差一定为奇数（偶数都无法构成JZP集合，手动试一下就能发现了）。

首先p[i]有只包含一个数的{i}。

之后对于元素个数大于等于2的，等差为1的子集个数为(i-1)/1，等差为3的子集个数为(i-1)/3……

但是这还不能满足题目的要求。

考虑p[i]-1和p[i-1]-1的区别，对于(i-1)/1+(i-1)/3+(i-1)/5……和(i-2)/1+(i-2)/3+(i-2)/5……，对于分母为x的，(i-1) / x ＞ (i-2) / x当且仅当(i-1)是x的倍数

可以得出p[i]比p[i-1]要大count(i-1的奇数约数)。

对于每个数的约数个数，可以在O(nlogn)的时间里预处理出来（参考素数的筛法）。

然后递推ans[i] = ans[i - 1] + p[i]，至此题目完美解决！

 

代码（2109MS）：

 1 #include <cstdio>

 2 #include <cstring>

 3 #include <algorithm>

 4 #include <iostream>

 5 #include <queue>

 6 using namespace std;

 7 typedef long long LL;

 8 

 9 const int MAXN = 1e7 + 10;

10 

11 int cnt[MAXN];

12 LL ans[MAXN];

13 

14 void initc() {

15     int n = 1e7;

16     for(int i = 1; i <= n; i += 2) {

17         for(int j = i; j <= n; j += i) cnt[j]++;

18     }

19 }

20 

21 void init() {

22     initc();

23     int n = 1e7;

24     ans[1] = 2;

25     LL t = 0;

26     for(int i = 2; i <= n; ++i) {

27         t += cnt[i - 1];

28         ans[i] = ans[i - 1] + t + 1;

29     }

30 }

31 

32 int main() {

33     init();

34     int T, n;

35     scanf("%d", &T);

36     for(int t = 1; t <= T; ++t) {

37         scanf("%d", &n);

38         printf("Case #%d:\n", t);

39         printf("%I64d\n", ans[n]);

40     }

41 }

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