Real FFT
[文/告别年代 Email：[email protected]]
FFT算法是针对复信号的，而现实场景中很多时候时域是实信号，此时有两种办法加快FFT的速度。
1. 使用一个N点的复FFT同时处理两个N点的实序列
假定我们有两个N点的实序列x[n]和y[n]，它们的FFT具有如下性质：实部偶对称，虚部奇对称。因此可将它们的FFT写为如下形式：
x[n] --F--> Nyquist以下部分：a+bi；Nyquist以上部分：a-bi
y[n] --F--> Nyquist以下部分：c+di；Nyquist以上部分：c-di
将这两个实信号拼成一个复信号z=x+yi，因FFT变换满足加法和乘法组合定理，z的FFT变换如下：
z[n] --F--> Nyquist以下部分：p+qi = a+bi+i(c+di) = (a-d)+(b+c)i，即实部p=a-d, 虚部q=b+c
Nyquist以上部分：s+ti = a-bi+i(c-di) = (a+d)+(-b+c)i，即实部s=a+d, 虚部t=-b+c
于是我们可以从z[n]的变换结果p+qi和s+ti分离出x[n]和y[n]的FFT结果：
a=(p+s)/2
b=(q-t)/2
c=(q+t)/2
d=(-p+s)/2
下面是一个稍微正式点的推导：
取z[n]=x[n]+iy[n]
那么：
x[n]=(z[n]+z[n]*)/2
y[n]=-i(z[n]-z[n]*)/2
将上式变换到频域，设x,y,z,z*的FFT系数分别为Fx,Fy,Fz*：
Fx=(Fz+Fz*)/2
Fy=-i(Fz-Fz*)/2
现在来看如何简便地获得Fz*：
Fz*= ∑z[n]*e-jk(2π/N)n
= ∑z[n]*{e+jk(2π/N)n}*
= {∑z[n]e+jk(2π/N)n}*
= {∑z[n]e+jk(2π/N)n-2π}*
= {∑z[n]e-j(N-k)(2π/N)n}*
因此，Fz*[k]=(Fz[N-k])*
代入上面的Fx和Fy即可。
2. 使用一个N点的复FFT处理一个2N点的实序列
上式中将时域序列拆分为两个序列：偶序列fe和奇序列fo，我们可以发现这实际上就是FFT算法推导过程的第一步。
我们已经看过如何用一个N点复FFT计算两个N点实FFT，因此FFTN/2(k,fe)和FFTN/2(k,fo)的求解不是问题：
回顾下开头的式子：
上述三个式子组合一下：
这个就是我们需要的结果。
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