[Machine Learning] 梯度下降（BGD）、随机梯度下降（SGD）、Mini-batch Gradient Descent、带Mini-batch的SGD

一、回归函数及目标函数

以均方误差作为目标函数（损失函数），目的是使其值最小化，用于优化上式。

二、优化方式（Gradient Descent）

1、最速梯度下降法

也叫批量梯度下降法Batch Gradient Descent，BSD

a、对目标函数求导

b、沿导数相反方向移动theta

原因：

（1）对于目标函数，theta的移动量应当如下，其中a为步长，p为方向向量。

（2）对J（theta）做一阶泰勒级数展开：

（3）上式中，ak是步长，为正数，可知要使得目标函数变小，则应当<0，并且其绝对值应当越大越好，这样下降的速度更快。在泰勒级数中，g代表J（theta k）的梯度，所以为了使得为负并且绝对值最大，应当使theta的移动方向与梯度g相反。

2、随机梯度下降法（stochastic gradient descent，SGD）

SGD是最速梯度下降法的变种。

使用最速梯度下降法，将进行N次迭代，直到目标函数收敛，或者到达某个既定的收敛界限。每次迭代都将对m个样本进行计算，计算量大。

为了简便计算，SGD每次迭代仅对一个样本计算梯度，直到收敛。伪代码如下（以下仅为一个loop，实际上可以有多个这样的loop，直到收敛）：

（1）由于SGD每次迭代只使用一个训练样本，因此这种方法也可用作online learning。

（2）每次只使用一个样本迭代，若遇上噪声则容易陷入局部最优解。

3、Mini-batch Gradient Descent

（1）这是介于BSD和SGD之间的一种优化算法。每次选取一定量的训练样本进行迭代。

（2）从公式上似乎可以得出以下分析：速度比BSD快，比SGD慢；精度比BSD低，比SGD高。

4、带Mini-batch的SGD

（1）选择n个训练样本（n<m，m为总训练集样本数）

（2）在这n个样本中进行n次迭代，每次使用1个样本

（3）对n次迭代得出的n个gradient进行加权平均再并求和，作为这一次mini-batch下降梯度

（4）不断在训练集中重复以上步骤，直到收敛。