二叉树实现：公式化描述

树的定义：树（ t r e e） t 是一个非空的有限元素的集合，其中一个元素为根（ r o o t），余下的元素（如果有的话）组成 t 的子树（ s u b t r e e）。
树中层次最高的元素为根，其下一集的元素是余下元素所构成子树的根。

树的另一常用术语为级（level）。指定树根的级为1。

元素的度（degree of an element)是指其孩子的个数。叶节点的度为0.树的度是其元素度的最大值。

二叉树的定义：二叉树（ binary tree） t 是有限个元素的集合（可以为空） 。当二叉树非空时，
其中有一个称为根的元素，余下的元素（如果有的话）被组成 2个二叉树，分别称为 t的左子树
和右子树。
二叉树和树的根本区别是：
• 二叉树可以为空，但树不能为空。
• 二叉树中每个元素都恰好有两棵子树（其中一个或两个可能为空）。而树中每个元素可有
若干子树。
• 在二叉树中每个元素的子树都是有序的，也就是说，可以用左、右子树来区别。而树的
子树间是无序的。

 二叉树的特性：

特性1 ：包含n个元素的二叉树边数为n-1

证明 二叉树中每个元素 (除了根节点 ) 有且只有一个父节点。在子节点与父节点间有且只有一
条边，因此边数为n- 1。

特性2：若二叉树的高度为h，h>=0,则该二叉树最少有h个元素，最多有2^h-1个元素。

特性3：包含n个元素的二叉树的高度最大为n，最小为log₂(n+1) （向上取整）

满二叉树（除叶节点外，每个节点都有左右2个子节点），完全二叉树（除最后一层外，每层都满）

完全二叉树中元素与孩子编号的关系：

特性4：设完全二叉树中一元素的序号为i,1<=i<=n.则有以下关系：

当i=1时，节点为树的根。若i>1,则该元素父节点为i/2(向下取整)

当2*i>n时，该元素无左孩子。否则，其左孩子为2*i。

当2*i+1>n时，无右孩子。否则，右孩子为2*i+1。二叉树的公式化描述：二叉树的公式化描述利用了特性 4。二叉树可以作为缺少了部分元素的完全二叉树。图 8 - 8给出二叉树的两个样例。第一棵二叉树有三个元素 ( A、 B和C )，第二棵二叉树有五个元素 ( A、B、 C、 D和E )。没有涂阴影的圈表示缺少的元素。所有的元素 (包括缺少的元素 )按前面介绍的方法编号。在公式化描述方法中，按照二叉树对元素的编号方法，将二叉树的元素存储在数组中。图8 - 8同时给出了二叉树的公式化描述。缺少的元素由白圈和方格描述。当缺少很多元素时，这种描述方法非常浪费空间。实际上，一个有 n 个元素的二叉树可能最多需要 2n- 1 个空间来存储。当每个节点都是其他节点的右孩子时，存储空间达到最大。图 8 - 9给出这种情况下一棵有四个元素的二叉树，这种类型的二叉树称为右斜 ( r i g h t - s k e w e d )二叉树。当缺少的元素数目比较少时，这种描述方法很有效。

遍历方式：

前序遍历：先左子树，后根节点，后右子树

中序遍历：先根后左最后右

后序遍历：先左后右最后根

层级遍历：按层级遍历 

 

C++代码实现：

类定义：

  1 #ifndef BINARYTREEARRAY_H
  2 #define BINARYTREEARRAY_H
  3 #include <iostream>
  4 
  5 template<class T>
  6 class arrayTree
  7 {
  8 public:
  9     arrayTree(T *t, int end) :data(t), Last(end){ }
 10     void preOrder(int i);//前序
 11     void inOrder(int i);//中序
 12     void postOrder(int i);//后序
 13     void levelOrder();//层级
 14     int getLeftChildPos(int i){ return (2 * i) > Last ? -1 : 2 * i; }
 15     int getRightChildPos(int i){ return (2 * i + 1) > Last ? -1 : 2 * i + 1; }
 16 private:
 17     T* data;
 18     int Last;
 19 };
 20 
 21 template<class T>
 22 void arrayTree<T>::preOrder(int i)
 23 {
 24     if(Last==0)
 25     {
 26         std::cout << "empty tree" << std::endl;
 27         return;
 28     }
 29     if(i<=Last)
 30     {
 31         if (data[i-1] != 0)
 32         {
 33             std::cout << data[i-1] << " ";
 34         }
 35         if (getLeftChildPos(i) != -1)
 36             preOrder(getLeftChildPos(i));
 37         if (getRightChildPos(i) != -1)
 38             preOrder(getRightChildPos(i));
 39     }
 40 }
 41 
 42 template<class T>
 43 void arrayTree<T>::inOrder(int i)
 44 {
 45     if(Last==0)
 46     {
 47         std::cout << "empty tree" << std::endl;
 48         return;
 49     }
 50     if(i<=Last)
 51     {
 52         if(data[i-1]!=0)
 53         {
 54             if (getLeftChildPos(i) != -1)
 55                 inOrder(getLeftChildPos(i));
 56 
 57             std::cout << data[i - 1] << " ";
 58 
 59             if (getRightChildPos(i) != -1)
 60                 inOrder(getRightChildPos(i));
 61         }
 62     }
 63 }
 64 
 65 template<class T>
 66 void arrayTree<T>::postOrder(int i)
 67 {
 68     if(Last==0)
 69     {
 70         std::cout << "empty tree" << std::endl;
 71     }
 72     if(i<=Last)
 73     {
 74         if(data[i-1]!=0)
 75         {
 76             if (getLeftChildPos(i) != -1)
 77                 postOrder(getLeftChildPos(i));
 78             if (getRightChildPos(i) != -1)
 79                 postOrder(getRightChildPos(i));
 80 
 81             std::cout << data[i - 1] << " ";
 82         }
 83     }
 84 }
 85 
 86 template<class T>
 87 void arrayTree<T>::levelOrder()
 88 {
 89     int level = 1;
 90     int i = 1;
 91     while (i<=Last)
 92     {
 93         for (int j = 0; j < (1 << (level-1))&&i<=Last;++j,++i)
 94         {
 95             if (data[i-1]!=0)
 96             {
 97                 std::cout << data[i - 1] << " ";
 98             }
 99         }
100         std::cout<<std::endl;
101         level++;
102     }
103 }
104 #endif // !BINARYTREEARRAY_H

 

测试代码：

 1 #include "binaryTreeArray.h"
 2 
 3 int main()
 4 {
 5     int a[] = { 1, 2, 3, 2, 5, 0, 0, 0, 0, 0,2, 0, 0, 0 };//0表示虚节点
 6 
 7     arrayTree<int> tree(a, 11);
 8     tree.preOrder(1);
 9     std::cout << std::endl;
10     tree.inOrder(1);
11     std::cout << std::endl;
12     tree.postOrder(1);
13 
14     std::cout << std::endl;
15     tree.levelOrder();
16     system("pause");
17 
18     return 0;
19 }

输出结果：