求最大公约数算法
一、欧几里德算法（辗转相除法）
定理：对于任意整数a,b,有gcd(a,b) = gcd(b,a mod b)
证明：
a = kb + r --> r = a % b
假设a、b的公约数为x，即 x|a、x|b ("|"表示a、b可被x整除)，用同余符号表示为：a≡b(mod x)。
x|b --> x|kb
由取模运算性质
可得：x|(a - b) --> x|(a - kb) --> x|(kb+r - kb) --> x|(r)
即r可以被x整除，所以x是a，b，r的公约数，也就是说a，b，r有相同的公约数，那么最大公约数自然也相等。
定理证毕。
C代码实现：
1.递归实现
int gcd(int a, int b) { if (b == 0) return a; return gcd(b, a%b); }
2.迭代实现
int gcd(int a, int b) { int tmp; while (b != 0) { tmp = a; a = b; b = tmp % a; } return a; }
二、拓展欧几里德算法
扩展欧几里得算法是欧几里得算法（又叫辗转相除法）的扩展。除了计算a、b两个整数的最大公约数，此算法还能找到整数x、y（其中一个很可能是负数），使它们满足贝祖等式
注意x、y的解不唯一。
原理：
假设a' = b,b' = a%b.
内层中，假设存在x,y,使得a'x + b'y = gcd(a',b') --> bx + (a%b)*y = gcd(a',b') --> bx + (a - a/b * b)*y = gcd(a',b')
在欧几里德算法中已经证明gcd(a,b) = gcd(b,a%b) = gcd(a',b')
所以：bx + (a - a/b * b)*y = gcd(a,b) --> ay + b(x - y*a/b) = gcd(a,b).
显然：只要求出内层a',b'对应的x,y,就能够求出外层a,b对应的x,y.
C代码实现：
int gcd(int a, int b, int *x, int *y) { int ret; int tmp; if (b == 0) { *x = 1; *y = 0; return a; } ret = gcd(b, a%b, x, y); tmp = *x; *x = *y; *y = tmp - (*y)*(a/b); return ret; }
从代码中可以看出，递归极限（b=0）的情况下，a*x + b*y = gcd(a,0) = a,这样就很容找出一组x，y满足此方程。
我们选择x=1，y=0。
三、Stein算法
当求两个非常大的数的最大公约数且其中有素数时，欧几里德算法在效率上有缺陷，Stein算法可以弥补此缺陷。
算法规则如下：
x=0,则y是最大公约数。
y=0,则x是最大公约数。
x偶y偶：gcd(x,y) = 2gcd(x/2,y/2)
x偶y奇：gcd(x,y) = gcd(x/2,y)
x奇y偶：gcd(x,y) = gcd(x,y/2)
x奇y奇：gcd(x,y) = gcd((x+y)/2,|x-y|/2)
基本思想就是把要求的两个数不断化小，直到其中一个为0.
为了证明上述等式成立，需要先了解几个预备知识：
1.一个奇数的所有约数都是奇数
2.gcd(nx,ny) = n * gcd(x,y)
3.如果x%a=0,y%a=0,则(x+y)%a=0,(x-y)%a=0 （这个很容易理解）
4.奇数 * 偶数 = 偶数 奇数 + 奇数 = 偶数 奇数 - 奇数 = 偶数
下面开始证明：
1.x偶y偶：gcd(x,y) = 2gcd(x/2,y/2)
这个很简单，根据gcd(nx,ny) = n * gcd(x,y)，令n=2即可的上述等式。
2.x偶y奇：gcd(x,y) = gcd(x/2,y)
假设a=gcd(x,y),根据预备知识1可知，a是奇数。x%a=0,设x=na,根据预备知识4可知，n必定为偶数，
所以x/2=(n/2)*a,也就是x/2能够被a整除，(x/2)%a=0.
x/2,y有公约数a --> gcd(x,y) <= gcd(x/2,y) (这里应该很容易理解吧)
gcd(x,y) >= gcd(x/2,y) (显而易见)
所以，gcd(x,y) = gcd(x/2,y)，证毕。
3.x奇y偶：gcd(x,y) = gcd(x,y/2)
和上面的2相同，不重复。
4.x奇y奇：gcd(x,y) = gcd((x+y)/2,|x-y|/2)
当x>y时，
根据预备知识4可知，(x+y),(x-y)都是偶数，所以gcd((x+y),(x-y)) = 2*gcd((x+y)/2,(x-y)/2).
假设(x+y)/2=m,(x-y)/2=n,那么m+n=x,m-n=y.
如果a=gcd(m,n) --> m%a=0,n%a=0，根据预备知识3，(m+n)%a=0,(m-n)%a=0 --> x%a=0,y%a=0.
所以a是x,y的公约数 --> gcd(m,n) <= gcd(x,y)
现在来证gcd(m,n) >= gcd(x,y)：
设b=gcd(x,y).因为x,y都是奇数，所以b必定为奇数。
x%b=0,y%b=0 --> (x+y)%b=0,(x-y)%b=0.根据预备知识4可知，(x+y),(x-y)都是偶数，那么((x+y)/2)%b=0,((x-y)/2)%b=0.(这一点在证明2时已经证明过了)
即m%b=0,n%b=0 --> b是m,n的公约数 --> gcd(m,n) >= gcd(x,y)
所以，gcd(x,y) = gcd(m,n) = gcd((x+y)/2,(x-y)/2)
当y>x时，gcd(x,y) = gcd((x+y)/2,(y-x)/2)
这就是为什么要加绝对值符号的原因。
int stein(int x, int y) { if (x == 0) return y; if (y == 0) return x; /* 右移1位代替除以2 */
if ((x%2 ==0) && (y%2 == 0)) return 2 * stein(x>>1, y>>1); else if ((x%2 ==0) && (y%2 != 0)) return stein(x>>1, y); else if ((x%2 !=0) && (y%2 == 0)) return stein(x, y>>1); else
return stein((x+y)>>1, abs(x-y)>>1); }