什么是堆？深入理解堆数据结构及其应用

粉丝提问

⭐算法OJ⭐数据流的中位数【最小堆】Find Median from Data Stream 发表后收到一位粉丝的私信询问：

“经常听说堆、堆排序、优先队列这些概念，但一直不太明白堆到底是什么，能简单解释一下吗？它和内存分配中的堆是一回事吗？”

这是一个很好的问题！堆确实是计算机科学中一个重要但容易混淆的概念。下面我就来详细解释一下。

堆的基本概念

首先需要明确的是，数据结构中的"堆"(Heap)和内存管理中的"堆"是两个完全不同的概念，只是中文翻译相同而已。

数据结构中的堆是一种特殊的完全二叉树，它满足堆属性：

• 完全二叉树性质：除了最后一层，其他层都是完全填满的，且最后一层的节点都靠左排列
• 堆序性质：
  • 在最大堆中，每个节点的值都大于或等于其子节点的值
  • 在最小堆中，每个节点的值都小于或等于其子节点的值

最大堆和最小堆示例

堆的操作

堆通常支持以下几种基本操作：

1. 插入操作（O(log n)）

向堆中插入一个新元素：

1. 将新元素添加到堆的末尾（保持完全二叉树性质）
2. 从该节点开始向上调整（称为"上浮"或"堆化向上"），直到堆的性质恢复

def heap_insert(heap, value):
    heap.append(value)
    current = len(heap) - 1
    while current > 0:
        parent = (current - 1) // 2
        if heap[parent] < heap[current]:  # 最大堆示例
            heap[parent], heap[current] = heap[current], heap[parent]
            current = parent
        else:
            break

2. 删除堆顶元素（O(log n)）

从堆中移除并返回堆顶元素（最大或最小元素）：

1. 保存堆顶元素
2. 将堆的最后一个元素移到堆顶
3. 从堆顶开始向下调整（称为"下沉"或"堆化向下"），直到堆的性质恢复

def heap_pop(heap):
    if not heap:
        return None
    top = heap[0]
    heap[0] = heap[-1]
    heap.pop()
    current = 0
    while True:
        left = 2 * current + 1
        right = 2 * current + 2
        largest = current
        if left < len(heap) and heap[left] > heap[largest]:
            largest = left
        if right < len(heap) and heap[right] > heap[largest]:
            largest = right
        if largest != current:
            heap[current], heap[largest] = heap[largest], heap[current]
            current = largest
        else:
            break
    return top

3. 构建堆（O(n)）

将一个无序数组构建成堆：

1. 从最后一个非叶子节点开始（索引为n//2 - 1）
2. 对每个节点执行下沉操作

def build_heap(arr):
    n = len(arr)
    for i in range(n // 2 - 1, -1, -1):
        heapify(arr, n, i)

堆的应用

堆数据结构有许多重要应用：

• 堆排序：利用堆实现的 $O(nlogn)$ 排序算法
• 优先队列：堆是优先队列的高效实现方式
• 图算法：如Dijkstra最短路径算法、Prim最小生成树算法
• Top K问题：快速找出前K个最大或最小元素
• 中位数维护：使用两个堆可以动态维护数据流的中位数

堆与内存分配中的堆的区别

最后回答粉丝的第二个问题：数据结构中的堆和内存分配中的堆是完全不同的概念。

• 数据结构中的堆：是一种树形数据结构，用于高效地获取和操作最大/最小元素
• 内存分配中的堆：是操作系统提供的一块内存区域，用于动态内存分配（malloc/free, new/delete等），与栈内存相对

它们唯一的共同点是英文都叫"Heap"，但中文翻译相同纯属巧合。

总结

堆是一种高效的数据结构，特别适合需要频繁访问最大或最小元素的场景。理解堆的原理和实现，对于掌握许多高级算法和解决实际问题都非常有帮助。希望这篇解释能帮助到有同样疑问的朋友们！

如果你有更多关于堆或其他数据结构的问题，欢迎继续留言私信讨论。