了解倒数的概念，乘法逆元就很好理解——解析之【逆元的概念】【逆元的求解方法】

前言

首先，下面讨论的是数论相关内容。主要研究对象是非负整数。其次，博客不对一些定理进行数学推理，只阐述相关结论或者性质。另外，涉及到相关代码演示，使用的是Java语言。

一、逆元的概念

1、基本定义

倒数的概念相信大家都很了解，给定两个数字，$a和b$若：$$a\times b==1$$
那么$a和b$互为倒数。

逆元和倒数的概念类似。不过逆元是模运算上“倒数”的概念。 在模m的情况下，给定一个整数$a$，存在另一个整数$b$，使得：

$$a\times b\equiv 1(\mathrm{mod}m)$$
即，$(a\times b)(\mathrm{mod}m)=1$ ， 那么b就是a在模m下的乘法逆元。 和倒数的概念类似，a和b互为乘法逆元，但必须是在模m的条件下成立！

举几个栗子，说明什么是逆元：

示例 1：$a=3,m=7$

我们需要找到一个整数 $b$，使得：

$3\times b\equiv 1(\text{mod}7)$

尝试不同的 $b$ 值：

• $3\times 1=3\equiv 3(\text{mod}7)$
• $3\times 2=6\equiv 6(\text{mod}7)$
• $3\times 3=9\equiv 2(\text{mod}7)$
• $3\times 4=12\equiv 5(\text{mod}7)$
• $3\times 5=15\equiv 1(\text{mod}7)$

因此，$b=5$ 是 $3$ 在模 $7$ 下的逆元，因为 $3\times 5\equiv 1(\text{mod}7)$。

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示例 2：$a=2,m=5$

我们需要找到 $b$，使得：

$2\times b\equiv 1(\text{mod}5)$

尝试不同的 $b$ 值：

• $2\times 1=2\equiv 2(\text{mod}5)$
• $2\times 2=4\equiv 4(\text{mod}5)$
• $2\times 3=6\equiv 1(\text{mod}5)$

因此，$b=3$ 是 $2$ 在模 $5$ 下的逆元，因为 $2\times 3\equiv 1(\text{mod}5)$。

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2、乘法逆元有什么用

我们知道，在数学的模运算中，参数必须是整数（即使在许多编程语言中支持对浮点数进行模运算），因此在模运算中可能出现这种冲突：
$$3/2\equiv ?(\mathrm{mod}107)$$
3$÷2=1.5$是一个小数，小数不能进行模运算啊。因此我们需要想办法把$÷2$等价替换成其他参数，使得$(3÷2)$这个整体是一个整数，然后再进行模$107$. 而乘法逆元就可以完美做到这一点。

根据乘法逆元的定义，我们设$a$是$2$在模m的情况下的乘法逆元：
$$a\times 2\equiv 1(\mathrm{mod}107)$$
式子两边同时除以2：
$$a\equiv 1/2(\mathrm{mod}107)$$
这时，我们就可以把原式中【$3/2\equiv ?(\mathrm{mod}107)$】 的1/2替换成$a$：
$$3\times a\equiv ?(\mathrm{mod}107)$$
根据计算，2在模107下的乘法逆元是54，所以$3\times 54\equiv ?(\mathrm{mod}107)\to 162\equiv 55(\mathrm{mod}107)$ 余数55就计算出来了。

3、相关性质

1. 只有当a和m的最大公约数等于gcd(a,m)=1，a在模m的情况下的乘法逆元b才存在。
2. 如果在模m的情况下，a的乘法逆元b存在，那么整数b一定是唯一的。

二、求解逆元的方法

1、费马小定理求乘法逆元

定义

小定理，快速理解：

费马小定理是数论中的一个重要定理，用于求解模运算下的逆元。对于一个质数 p ，如果 ( a ) 是一个整数且与 ( p ) 互质（即 gcd(a, p) = 1 ），费马小定理指出：

$$a^{p-1}\equiv 1(\mathrm{mod}p)$$

这就是费马小定理。

费马小定理求逆元的方法

根据这个定理我们可以求出，a在模p下的逆元，因为上述式子可以被改写成这样：

$$a\cdot a^{p-2}\equiv 1(\mathrm{mod}p)$$

根据乘法逆元的定义，a^p-2模p 就是$a$在模$p$的情况下的乘法逆元。

总结

当我们要求一个整数a在模p的情况下的乘法逆元，并且p是质数，gcd(a,p)=1，那么可以运用费马小定理求解，a^p-2模p 就是a在模p的情况下的乘法逆元。 时间复杂度是 $O(\log (p))$ ，因为可以使用快速幂去求解a^p-2 。

模板题

费马小定理求逆元

AC代码：

import java.util.Scanner;

public class Test{


    /**
     * 计算a^(p-2) （mod m）
     * */
    private static int pow(long base,long x,long m){
            long result=1;
            while(x>0){
                if((x&1)==1){
                    result*=base;
                    result%=m;
                }
                base*=base;
                base%=m;
                x>>=1;
            }
        return (int)result;
    }

    public static void main(String[] args) {
            Scanner sc=new Scanner(System.in);
            int n=sc.nextInt();
            int p=sc.nextInt();
            int ans=pow(n,p-2,p);
            System.out.println(ans);
    }
}

2、扩展欧几里得算法求逆元

注意：观看这里，建议先了解裴蜀定理，了解定义即可。

定义

扩展欧几里得算法不仅可以用来计算两个数的最大公约数，还可以找到这两个数的线性组合。例如，对于给定的两个整数 $a$ 和 $b$，扩展欧几里得算法可以找到整数 $x$ 和 $y$ 使得：

$$a\times x+b\times y=\text{gcd}(a,b)$$

当 $a$ 和 $m$ 互质（即 $\text{gcd}(a,m)=1$）时，可以找到整数 $x$ 使得：

$$a\times x\equiv 1(\mathrm{mod}m)$$

这意味着 $x$ 就是 $a$ 在模 $m$ 下的乘法逆元！

扩展欧几里得算法求逆元的方法

如果我们要计算a在模m的情况下的乘法逆元：

1. 使用扩展欧几里得算法计算 $a$ 和 $m$ 的最大公约数 $\text{gcd}(a,m)$。如果 $\text{gcd}(a,m)\ne 1$，则 $a$ 在模 $m$ 下的逆元不存在。

2. 如果 $\text{gcd}(a,m)=1$，扩展欧几里得算法会找到整数 $x$ 和 $y$，使得：

   $$a\times x+m\times y=gcd(a,m)=1(\mathrm{mod}m)$$
   进一步改写：
   $$a\times x+m\times y=1(\mathrm{mod}m)$$
   因为右边第二项模m为0，所以在进一步改写：
   $$a\times x=1(\mathrm{mod}m)$$
   根据这个等式，便得出 $a\times x\equiv 1(\mathrm{mod}m)$，因此 $x$ 就是 $a$ 在模 $m$ 下的乘法逆元。 如果对x的求解方式不太了解，请看裴蜀定理详细介绍 中的二.2节，包含证明以及求x得公式。

总结

当我们要求一个整数a在模p的情况下的乘法逆元，并且gcd(a,p)=1，那么可以使用扩展欧几里得算法求解。 裴蜀定理中得系数x，就是我的答案（当然如果x是负数，或者是p的倍数，进行模运算的处理即可，具体可以看模板题的操作）

模板题

exgcd求逆元

AC代码

import java.util.Scanner;
// 1:无需package
// 2: 类名必须Main, 不可修改

public class Main {


    static class ResultGCD{
        int x;
        int y;
        int gcd;
        public ResultGCD(int xx,int yy,int gg){
            x=xx;
            y=yy;
            gcd=gg;
        }
    }

    private static ResultGCD exGcd(int a,int b){
        if(b==0)return new ResultGCD(1,0,a);
        ResultGCD result=exGcd(b,a%b);
        int gcd=result.gcd;
        int xx=result.x;
        int yy=result.y;
        int x=yy;
        int y=xx-(a/b)*yy;
        return new ResultGCD(x,y,gcd);
    }

    private static int getInvers(int a,int m){
        ResultGCD ans=exGcd(a,m);
        if(ans.gcd==1){	
        		
        		//特殊处理	
            return (ans.x%m+m)%m;
        }else return -1;
    }

    public static void main(String[] args) {
        Scanner scan = new Scanner(System.in);
        //在此输入您的代码...

        int n=scan.nextInt();
        for(int i=0;i<n;i++){
            int a=scan.nextInt();
            int b=scan.nextInt();
            int ans=getInvers(a,b);
            System.out.println(ans);
        }
        scan.close();
    }
}

3、递推公式求逆元

递推公式法是一种求解连续整数逆元的快速方法，适用于模 $p$ 是质数的情况。

定义

递推公式法适用于要求从 $1$ 到 $n$ 的所有整数在模 $p$ 下的逆元，其中 $p$ 是质数。通过递推，我们可以快速地求得这些逆元。递推公式如下：

$$\text{inv}[i]=(p-p/i)\times \text{inv}[p\mathrm{mod}i](\mathrm{mod}p)$$

 inv[i] = (p - (p / i) * inv[p % i] % p) % p;

其中，$\text{inv}[i]$ 表示整数 $i$ 在模 $p$ 下的乘法逆元，$p$ 是质数。

递推公式的推导

假设我们已经知道了 $1,2,\dots ,i-1$ 的逆元，接下来我们来求 $i$ 的逆元。
我们可以通过以下关系得到：

• 根据扩展欧几里得原理，可以得到：

  $$i\times \text{inv}[i]\equiv 1(\mathrm{mod}p)$$

• 可以重写为：

  $$i\times \text{inv}[i]+p\times k=1$$

  通过递推可以求出所有整数的逆元。

示例

假设我们要找出从 $1$ 到 $6$ 在模 $7$ 下的逆元：

• 使用递推公式，可以得出：
  • $\text{inv}[1]=1$
  • $\text{inv}[2]=4$
  • $\text{inv}[3]=5$
  • $\text{inv}[4]=2$
  • $\text{inv}[5]=3$
  • $\text{inv}[6]=6$

这样，我们就可以通过递推公式快速地求出一系列整数的逆元。

总结

对于求解逆元的问题，我们有三种常用的方法：

1. 费马小定理，适用于模数是质数的情况。
2. 扩展欧几里得算法，适用于任意模数且 $a$ 和 $m$ 互质的情况。（这也是乘法逆元存在得前提）
3. 递推公式法，适用于连续整数在模质数 $p$ 下的逆元求解。

根据实际应用场景，可以选择合适的方法来求解逆元，以简化计算过程并提高效率。

---

完