斜率优化

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斜率优化动态规划

以前写过一篇关于动态规划斜率优化的文章，但是非常不好懂T_T，这两天做了一些斜率优化的题，再总结一下：

例题：HDU 3507

首先这个题朴素的DP方程是这样的：
$f_i=min(f_j+\sum_{k=j+1}^i(cost_k)+M$
如果我们记$cost$的前缀和为$s$，那么
$f_i=min(f_j+(s_i-s_j)^2)+M $
化简得到：
$f_i=min(f_j+s_i^2+s_j^2-2s_is_j)+M$
注意到$s_i$只与$f_i$有关，所以可以从括号内提出
$f_i=min(f_j+s_j^2-2s_is_j)+M+s_i^2$
所以决策的表达式就是
$f_j+s_j^2-2s_is_j$

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现在我们考虑任意两个决策点$a$和$b$（也就是说$j=a$和$j=b$的情况）
假设$a < b$
那么决策$a$比决策$b$更优的条件就是
$f_a+s_a^2-2s_is_a < f_b+s_b^2-2s_is_b$
整理得到
$(f_a+s_a^2)-(f_b+s_b^2) < 2s_i(s_a-s_b)$
继续整理，得到

$$\frac{(f_a+s_a^2)-(f_b+s_b^2)}{s_a-s_b} < 2s_i$$

这就是决策$a$比决策$b$更优的条件
仔细观察这个式子，如果我们把$f_a+s_a^2$和$f_b+s_b^2$分别看做点A和B的纵坐标，$s_a$和$s_b$看做点A和B的横坐标，那么不等式左面就可以看成是一个斜率式。斜率优化的名字就由此而来。
下文中我们就把不等式左面记做$k_{a,b}$

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我们再来考虑三个决策$a,b,c(a < b < c)$.
如果有 $k_{a,b} < k_{b,c}$ 那么意味着什么呢？
判断两个决策谁更优需要和$s_i$比较，我们分三种情况讨论：

• $k_{a,b} < k_{b,c} < s_i$
  因为$k_{a,b} < s_i$，所以决策$a$决策$b$更好
  因为$k_{b,c} < s_i$，所以决策$b$决策$c$更好
  综上我们在$a,b,c$中我们应该选择决策$a$
  
• $s_i < k_{a,b} < k_{b,c}$
  这种情况下决策$b$比决策$a$好，决策$c$比决策$b$好，所以我们应该选择决策$c$
  
• $ k_{a,b} < s_i < k_{b,c}$
  这种情况下决策$a$比决策$b$好，决策$c$也比决策$b$好，虽然我们不能确定决策$a$和决策$c$谁更好，但是肯定能确定决策$b$是不好的，不用考虑决策$b$了

通过以上三种情况，我们发现只要有 $k_{a,b} < k_{b,c}$，决策$b$就一定不是最好的，不用考虑了
基于这一点，我们有效地减少了需要考虑的决策数，从而对这类DP进行了优化。

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那么具体怎么实现呢？

如果我们把各个决策以点$(s_j,f_j+s_j^2)$的形式画在平面上，并且对于任意三个点A,B,C（按照横坐标A < B < C）都保证$k_{a,b} < k_{b,c}$　不成立（换句话说我们删去所有使得$k_{a,b} < k_{b,c}$的B点），那么我们就会发现剩下的图形是一个凸多边形。

也就是说，如果把各个决策看成是点，我们实际上要维护的是这些点的凸包。

具体实现的时候，分两种情况：

1．像这道题一样，决策点是依次出现的（横坐标依次增大），那么就非常简单了：

我们维护一个单调队列，每次算完一个$f$的值，就把其对应的决策点加入单调队列队尾，把这个决策点看做是Ｃ，如果单调队列中有两个点或以上，就把最后的两个点看做是Ａ和Ｂ，如果$k_{a,b} < k_{b,c}$那么就把单调队列中最后一个点删去，直到$k_{a,b} < k_{b,c}$ 不成立为止，加入这个新的决策点
每次需要计算$f_i$值的时候，首先维护一下队头，如果队列中有两个或以上元素，且第一个点和第二个点的斜率值 $ < s_i$的话，就删去队头。因为$s_i$是递增的，现在$ < s_i$以后肯定$ < s_{i+1}$，所以这样维护是合理的。

这样维护过后，直接取队头的决策就是当前最优的决策。

如果你想不通为什么队头就是最优决策的话，画一张图看看。因为维护过的图形是一个上凸包，所以所有的斜率都是随着横坐标的增大而递减的，又因为第一个斜率$ < s_i$，所以所有的斜率都$ < s_i$。那么从队头开始每个点都优于他后面一个点（因为这个斜率$ < s_i$），根据传递性队头的点就是最优的了。

这种情况下状态数仍然是$O(n)$的，但转移的时间复杂度从$O(n)$下降到$O(1)$。又因为单调队列均摊下俩是$O(1)$的，所以整体时间复杂度就从$O(n^2)$优化到了$O(n)$

2．如果各个决策点出现的顺序是无须的,比如bzoj1492,那么就不能简单的用一个单调队列维护了，我们需要一颗平衡树，每次找到决策需要插入的位置，并分别向左向右维护凸包。这变成了一个经典的动态凸包问题。当然，这个题有其他不用斜率优化的更好的做法。

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以上就是斜率优化的全部原理和实现方法。附上hdu3507的代码以供参考：

#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <iostream>

#define MAXN (500000+10)

using namespace std;
int s[MAXN],a[MAXN],f[MAXN];
struct node{
	int x,y,ss;
	node(int x=0,int y=0,int ss=0):x(x),y(y),ss(ss) {}
};
struct Mono_queue{
	node t[MAXN];
	int f,r;
	int size;
	void init(){
		memset(t,0,sizeof t);
		f=0;
		r=0;
		size=0;
	}
	void push(node x){
		while (size>=2){
			if ((x.x-t[r-1].x >0 && t[r-1].x-t[r-2].x>0)  || (x.x-t[r-1].x <0 && t[r-1].x-t[r-2].x<0)){
				if ((x.y-t[r-1].y)*(t[r-1].x-t[r-2].x)<=(t[r-1].y-t[r-2].y)*(x.x-t[r-1].x))	r-- , size--;
				else break;
			}else {
				if ((x.y-t[r-1].y)*(t[r-1].x-t[r-2].x)>=(t[r-1].y-t[r-2].y)*(x.x-t[r-1].x))	r-- , size--;
				else break;
			}
		}
		t[r++]=x;
		size++;
	}
	void maintain(int x){

		while (size>=2){
			if ((t[f+1].x-t[f].x)>0){
				if ((t[f+1].y-t[f].y)<=x*(t[f+1].x-t[f].x))	f++ , size--;
				else break;
			}else{
				if ((t[f+1].y-t[f].y)>=x*(t[f+1].x-t[f].x))	f++ , size--;
				else break;
			}
		}
	}
	int top(){
		return t[f].ss;
	}
}T;
int main (int argc, char *argv[])
{
	int m,n;
	while (scanf("%d%d",&n,&m)!=EOF){
		T.init();
		memset(f,0,sizeof f);
		for (int i=1;i<=n;i++)	scanf("%d",&a[i]);
		for (int i=1;i<=n;i++)	s[i]=s[i-1]+a[i];
		T.push(node(0,0,0));
		for (int i=1;i<=n;i++){
			T.maintain(2*s[i]);
			int ss=T.top();	
			f[i]=f[ss]+s[ss]*s[ss]-2*s[ss]*s[i]+s[i]*s[i]+m;
			T.push(node(s[i],f[i]+s[i]*s[i],i));
		}
		printf("%d\n",f[n]);
	}
	return 0;
}

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斜率优化的题目都是大同小异，DP 的形式都差不多，只要能整理成斜率式，就能斜率优化。如果变量分离不开，那就不能斜率优化了。