[摘记]数值方法14——积分方程和反演理论

注：以下来自《C++数值算法一书》，仅对章节内容做摘要，为的是给自己扫盲，不涉及算法。

Fredholm方程涉及具有固定上、下限的定积分。第一类非齐次Fredholm方程形式如下：

K(t,s)称为核，上式对应的矩阵方程为Kf=g。第一类方程是病态的，核作用到一个函数通常起到光滑的作用，会丢失信息，这类问题专门的处理方法是反演问题。

第二类Fredholm方程写为：

没有特别的病态。

Volterra方程是Fredholm的一种特殊形式，去除不必要的积分部分，将积分上限改为自变量t的形式。第一类Volterra方程：

第二类Volterra方程写为

 

1. 第二类Fredholm方程

要求f(t)使用的方法称为Nystrom方法，这是一个非常基本的方法：

w_j是积分法则的权，N点s_j集是横坐标。这里倾向于用高阶积分法以保持N尽可能小。对于光滑、非奇异问题，最好的是高斯积分。

 

2. Volterra方程

Volterra方程的大部分算法从t=a开始，随着不断地迭代逐渐求出解。最简单的方法是在均匀步长的网格上用梯形法则。

对于高阶方法，目前认为最好的是逐块法。

 

3. 具有奇异核的积分方程

深入讨论略

 

4. 反演问题与先验信息的利用

我完全看不懂= =，甚至提到了哲学思想0 0

 

5. 线性正则化方法

又称为Phillips-Twomey方法、约束线性反演方法等。对之前的反演方法做了些改进，是本书推荐的方法。

 

6. Backus-Gilbert方法

与上一个方法相比，致力于提高稳定性而不是注重光滑性。

 

7. 最大熵图像恢复

反演问题涉及到的概率问题在这里发挥到了极致，还有哲学思想、历史性。。。。请恕我理解无能

 

这章可以说完全看不懂，慎入= =

 

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