【leetcode】Factorial Trailing Zeroes

Factorial Trailing Zeroes

Given an integer n, return the number of trailing zeroes in n!.

Note: Your solution should be in logarithmic time complexity.

 

统计末尾0的个数，只需要统计2，5的个数就可以了

 

 1 class Solution {

 2 public:

 3     int trailingZeroes(int n) {

 4         

 5         int count2=0;

 6         int count5=0;

 7         

 8         for(int i=2;i<=n;i++)

 9         {

10             int num=i;

11             while(num%2==0&&num>0)

12             {

13                 count2++;

14                 num=num/2;

15             }

16         

17         

18             while(num%5==0&&num>0)

19             {

20                 count5++;

21                 num=num/5;

22             }

23         }

24          

25         return min(count2,count5);

26     }

27 };

 

[n/k]代表1~n中能被k整除的个数
那么很显然
[n/2] > [n/5] (左边是逢2增1，右边是逢5增1)
[n/2^2] > [n/5^2](左边是逢4增1，右边是逢25增1)
……
[n/2^p] > [n/5^p](左边是逢2^p增1，右边是逢5^p增1)
随着幂次p的上升，[n/2^p]会远大于[n/5^p]
因此左边的加和一定大于右边的加和，也就是n!质因数分解中，2的次幂一定大于5的次幂

（感谢陆草纯博主的证明）

 

5的个数显然要比2的个数多，所以只统计5的个数就可以了

 1 class Solution {

 2 public:

 3     int trailingZeroes(int n) {

 4        

 5         int count2=0;

 6         int count5=0;

 7        

 8         for(int i=2;i<=n;i++)

 9         {

10             int num=i;

11            

12             while(num%5==0&&num>0)

13             {

14                 count5++;

15                 num=num/5;

16             }

17         }

18        

19         return count5;

20     }

21 };

 

 

 

既然只要统计5的个数就可以了，那么假设n=100，考虑有多少个5,

1~100里面有

1*5,2*5,3*5……20*5

 

通过上面的式子我们可以找到20个5

并且1-20之中也是存在5的，

1*5，2*5，3*5，4*5

又找到了4个5

而1-4之中就没有5了，因此共有24个5

 

可以抽象成下面的递归算法

 

 1 class Solution {

 2 public:

 3     int trailingZeroes(int n) {

 4         return get5(n);

 5     }

 6    

 7     int get5(int n)

 8     {

 9         if(n<5)return 0;

10         return n/5+get5(n/5);

11     }

12 };