poj 1659 Frogs' Neighborhood Havel-Hakimi定理 可简单图定理

作者：jostree 转载请注明出处 http://www.cnblogs.com/jostree/p/4098136.html

给定一个非负整数序列$D=\{d_1,d_2,...d_n\}$，若存在一个无向图使得图中各点的度与此序列一一对应，则称此序列可图化。进一步，若图为简单图，则称此序列可简单图化。

可图化的判定为：$d_1+d_2+ \cdots +d_n=0(mod2)$。即把奇数度的点配对，剩下的变为自环。
可简单图化的判定，即Havel-Hakimi定理：

我们把序列$D$变换为非增序列，即$d_1\geq d_2\geq \cdots \geq d_n$，则$D$可简单图化当且仅当$D'=(d_2-1, d_3-1, \cdots ,d_{(d1+1)}-1, d_{d1+2}, d_{d1+3}, \cdots ,d_n)$可简单图化。

证明：

<--：若$D'$可简单图化，把原图$G_D$中的最大度点与$G_{D'}$中度最大的$d_1$个点连边即可，图$G_D$必为简单图。

-->：若$D$可简单图化，设得到的简单图为$D_G$。分两种情况考虑:
(a)若$G_D$中存在边$(v_1,v_2), (v_1,v_3), \dots ,(v_1,v_{d_1+1})$，则删除这些边得简单图$G_{D'}$，于是$D'$可简单图化为$G_{D'}$

(b)若存在点$v_i,v_j(i<j)$且$(v_1,v_i)$不在$G_D$中，但$(v_1,v_j)$在$G_D$中。这时，因为$d_i \geq d_j$，必存在$k$使得$(v_i, v_k)$在$D_G$中但$(v_j,v_k)$不在$G_D$中。这时我们可以令$G''=G_D-\{(v_i,v_k),(v_1,v_j)\}+\{(v_k,v_j),(v_1,v_i)\}$。$G''$的度序列仍为$D$，使用情况(a)处理。

例如对于下图，我们删除两条打红X的边，添加两条虚线的边，即可转化为$G''$

代码实现很简单，每次对数组arr排序，然后对于arr[1],arr[2],...,arr[arr[0]]每个数减一，并另arr[0]=0。重复n次，最后检验数组是否全部为0，是则输出YES和图，否则输出NO。

需要注意的是输出格式，每两个case之间需要输出一个空行。

代码如下：

 1 #include <cstdio>
 2 #include <cstdlib>
 3 #include <iostream>
 4 #include <cstring>
 5 #include <algorithm>
 6 #define     MAXN 11
 7 using namespace std;
 8 class node
 9 {
10     public:
11         int id;
12         int degree;
13         bool operator < (const node & a)const
14         {
15             return degree>a.degree;
16         }
17 };
18 int n;
19 node arr[MAXN];
20 int map[MAXN][MAXN];
21 void solve()
22 {
23     memset(map, 0, sizeof(map));
24     for( int i = 0 ; i < n ; i++ )
25     {
26         sort(arr, arr+n);
27         for( int j = 1 ; j <= arr[0].degree ; j++ )
28         {
29             arr[j].degree -= 1;
30             map[arr[0].id][arr[j].id] = 1;
31             map[arr[j].id][arr[0].id] = 1;
32         }
33         arr[0].degree = 0;
34     }
35     for( int i = 0 ; i < n ; i++ )
36     {
37         if( arr[i].degree < 0 )
38         {
39             printf("NO\n\n");
40             return ;
41         }
42     }
43     printf("YES\n");
44     for( int i = 0 ; i < n ; i++ )
45     {
46         for( int j = 0 ; j < n ; j++ )
47         {
48             printf("%d%c", map[i][j], j==(n-1)?'\n':' ');
49         }
50     }
51     printf("\n");
52 }
53 int main(int argc, char *argv[])
54 {
55     int t;
56     scanf("%d", &t);
57     while( t-- )
58     {
59         scanf("%d", &n);
60         for( int i = 0 ; i < n ; i++ )
61         {
62             scanf("%d", &arr[i].degree);
63             arr[i].id = i;
64         }
65         solve();
66     }
67 }

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