HNOI 2011 数学作业

题目链接：http://www.zybbs.org/JudgeOnline/problem.php?id=2326

题目知识：动态规划，矩阵乘法

 

分析：一开始看到数据范围就想到只能构造...想了好长时间也没想出来...后来同学一点拨才发现DP+矩阵加速就好了。

 

首先可以非常简单地得到一个递推式，f[i]表示第i个数mod m的值，则f[i]=f[i-1]*(10^d[i])+i，其中d[i]表示i的位数， 从|f[i-1],i-1,1| ==> |f[i],i,1|可以由矩阵

 

|d[i],0,0|

 

|1,   1,0|

 

|1,   1,1|得来，所以根据矩阵结合律，可以用类似于快速幂的方法求解。时间复杂度O(logn)(貌似是吧)。

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#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;

struct node
{
       int n,m,d[4][4];
};
node ans,d;
long long n,wei,num;
int mod;

node Cheng(node a,node b)
{
     node c;
     long long temp;
     c.n=a.n,c.m=b.m;
     for (int i=1;i<=a.n;i++)
         for (int j=1;j<=b.m;j++)
         {
             temp=0;
             for (int k=1;k<=a.m;k++) 
             {
                 temp+=(long long)a.d[i][k]*b.d[k][j];
                 if (temp>=mod) temp%=mod;
             }
             c.d[i][j]=temp;
         }
     return c;
}

int main()
{
    scanf("%lld%d",&n,&mod);
         ans.n=1,ans.m=3;
     ans.d[1][1]=0,ans.d[1][2]=0,ans.d[1][3]=1;
     d.n=3,d.m=3;
     wei=1;
         while (true)
         {
           wei*=10;
           num=min(wei-1,n)-wei/10+1;
           memset(d.d,0,sizeof(d.d));
           d.d[1][1]=wei%mod;
           d.d[2][1]=d.d[2][2]=d.d[3][1]=d.d[3][2]=d.d[3][3]=1;

           while (1)
           {
                 if (num&1) ans=Cheng(ans,d);
                 num>>=1;if (!num) break;
                 d=Cheng(d,d);                 
           }
        if (wei>n) break;
     }
     printf("%d\n",ans.d[1][1]);
    return 0;
}

看来以后应该试着让自己的思路面广一些，不能死磕着一个思路走啊..

最后膜拜一下XYR。

(吐槽：丫的每年的HNOI都有数学都有平衡树啊...而且非splay无解啊...囧视。HB第一年省选伤不起...)