poj3252

第一道组合数学题，连跪一天。。

没有discuss根本做不出来，但是想想不是很难。

首先，

RoundNumber[start, end] = RoundNumber[0,start] - RoundNumber[0,end - 1] = RoundNumber[0, start + 1] - RoundNumber[0, end]

这是容易证明的。因为一个数字是否是所谓“RoundNumber”，只跟它自己有关，也就是说转化成二进制的0的个数是否大于1的个数有关。那么他们（独立的数字，如1，2，3，4）之间是相互独立的。至于为何要加一或者减一，因为是要包含区间边界，无论是否小于等于它都会包含（省事儿），所以最后处理一下。

《组合数学》第二章“排列与组合”中，阐述了几个原理：加法原理、减法原理、乘法原理。各自的前提是不同的，需要仔细去了解。

重点不在上面，上面只是基础。

首先在高中我们学过组合数的定义：

然后它具有以下常用性质：

1.

2.

3.

4.

性质3常用于打表，因为其具递推的性质。

切入正题，假设有如下二进制数：

问其是否是RoundNumber？答案是肯定的。

最一开始我们知道，要想求RN[start,end]，我们只需要求RN[0,start+1]-RN[0,end]。归根结底是求RN[0,x]。

把这个八位二进制数分情况讨论一下，比它小的分两种情况，一是1至7位数，二是八位数。

情况一：

一个二进制，长度为Len的数，若使0的个数大于1的个数，可以这么安排：

若Len是奇数，即Len=2*k+1，最高位是1，其余2k位，则有：

至此，Len是奇数时我们解决了。可以直接算这些组合数（从表中直接取，以下代码就是这么操作的），也可以利用一下上面提供的性质。由性质2知，在性质1和式函数中，最头的两个是对称相等的。那么，上式恰好等于：

若Len是偶数，Len=2*k，最高位是1，其余2k-1位，同理可得：

情况二：当位数为8时：

先放大一下这个二进制数：

可以清晰地看到，第四位，我标记了1。如果将1改为0，那么剩下的四位任意填数都满足该数（新的）小于这个二进制数(10011000)B。但是不能任意填，还是要满足0的个数大于1的个数，那么我们有如下结论：

令l为长度，i为当前改变的“1”的位置，如图中的位置4，zero为0的计数（绝对计数、不包含被改变的第四位数1），a为需要填数的位置（下图中的虚线框）中1的个数，b为需要填数的位置中0的个数。

有如下等式：

有如下不等式：

解得：

这个式子说明了，至少要填那么b个零，也就是l/2-(zero+1)。注意奇偶。至多呢？至多全填满呗。填多少？i-1个（空格数）呗。注意，程序中是从高位到地位搜索，i的位置表示的是绿色的1的位置，i-1是空格（虚线框）的个数。

至此，问题解决了，那么代码就很简单了。

 

#include<iostream>

using namespace std;

int c[33][33] = { 0 };
int bin[35];  //十进制n的二进制数

void combinations()
{
	for (int i = 0; i <= 32; i++)
	{
		for (int j = 0; j <= i; j++)
		{
			if (!j || i == j)
			{
				c[i][j] = 1;
			}
			else
			{
				c[i][j] = c[i - 1][j - 1] + c[i - 1][j];
			}
		}
	}
	return;
}

void dec_to_bin(int n)
{
	bin[0] = 0;
	while (n)
	{
		bin[++bin[0]] = n % 2;
		n /= 2;
	}
	return;
}

int round(int n)
{
	int i, j;
	int sum = 0;
	dec_to_bin(n);

	/*计算长度小于bin[0]的所有二进制数中RN的个数*/

	for (i = 1; i < bin[0] - 1; i++)
	{
		for (j = i / 2 + 1; j <= i; j++)
		{
			sum += c[i][j];
		}
	}
			
	/*计算长度等于bin[0]的所有二进制数中RN的个数*/

	int zero = 0;  //从高位向低位搜索过程中出现0的位的个数
	for (i = bin[0] - 1; i >= 1; i--)
	{
		if (bin[i])
		{
			for (j = (bin[0] + 1) / 2 - (zero + 1); j <= i - 1; j++)
			{
				sum += c[i - 1][j];
			}
		}
		else zero++;
	}
	return sum;
}

int main()
{
	combinations();
	int a, b;
	while (cin >> a >> b)
	{
		cout << round(b + 1) - round(a) << endl;
	}
}

组合数学，一跪一天，爽！