小结：最短路

概要：

最短路是个神奇的东西，通过三角不等式，我们可以拓展出很多最短路的延伸。而求最短路的算法一般我用三种，dijkstra、spfa、floyd，第一个用于点少边多的，第一个用于点多边少的，第三个是多源最短路。

应用：

差分约束系统、一般约束条件、最短路等。

技巧及注意：

差分约束：根据三角不等式d(v)<=d(u)+w(u, v)，我们通过移项，还可以得到d(v)+w(u, v)<=d(u)，而这样就足以解决一些不等式约束集了，即差分约束（在一些情况下，可以考虑最长路的三角不等式）。例如

1. 【BZOJ】2330: [SCOI2011]糖果（差分约束+spfa），维护每个点的总的信息。
2. 例如sum[i]表示对i这个点的进出的总量，然后有约束使得能够构造出差分约束一样的网络求出sum，例题在白书上有。

障碍限制：和bfs一样有个技巧，在求有障碍的约束时，即当出现这些起点到终点最多能越过k个障碍的图时，可以逆着想，我们想这个点到终点需要越过的最少障碍数，然后用k来判断是否合法即可，例如：

1. 【BZOJ】1295: [SCOI2009]最长距离（spfa+暴力）

k短路：在A*的小结中已讲

1. 小结：A* & IDA* & 迭代深搜

次短路：对于次短路，我们可以没那么麻烦用A*做，可以在最短路的基础上再维护一个数组就行了。转移状态时注意下即可。例题：

1. 【wikioi】1269 匈牙利游戏（次短路+spfa）
2. 【POJ】3255 Roadblocks（次短路+spfa）

特殊技巧：这种靠智商了，看你能否建成最短路模型。其实多想想就行了。例如：

1. 【POJ】1062 昂贵的聘礼（spfa）
2. 【COGS】147. [USACO Jan08] 架设电话线（二分+spfa）
3. 【TYVJ】1467 - 通向聚会的道路（spfa+特殊的技巧）

分数规划：这种属于01分数规划中的一种，就是求“每一个物品只有选或者不选两种方案，求一个选择方案使得 R=sigma(a[i]*x[i])/sigma(b[i]*x[i])取得最值，即所有选择物品的总收益/总代价的值最大或是最小。”，那么我们移项后设F(L)=sigma(a[i]*x[i])-L*sigma(b[i]*x[i])，（x[i]表示i这个点是否选）而这里的L和我们的R关系密切，我们只需要找出最大的L就能找出R。对于每个L，如果F(L)>0时说明还能找到一个更优解（或者一些题目中是F(L)<0)，且F(L)是具有单调性的，因此我们可以二分L，然后如果F(L)>0，那么移动上界，否则移动下界（视题目情况而定）。例题：

1. 【BZOJ】1690: [Usaco2007 Dec]奶牛的旅行（分数规划+spfa）

判负环：这种最好用dfs版本的spfa做，要不然会tle，例题：

1. 【BZOJ】1690: [Usaco2007 Dec]奶牛的旅行（分数规划+spfa）
2. 【BZOJ】2019: [Usaco2009 Nov]找工作（spfa）

spfa优化：在进队列的时候，如果d[v]<d[q[front]]时，加入到前边。这个优化的英文简称叫啥来着。例题：

1. 【BZOJ】2100: [Usaco2010 Dec]Apple Delivery（spfa+优化）

对偶图：用于求平面图的最小割，根据欧拉定理e-v+2=f易得出二维平面的个数（显然少了很多），然后对应的割连边，例题：

1. 对偶图 && 【BZOJ】1001: [BeiJing2006]狼抓兔子（对偶图+最短路）

乘积最短路：一些题目中三角不等式并不是简单的加法，而是形如d[v]<=d[u]+d[u]*w[u,v]这一类的问题，因为log(d[v])<=log(d[u]+d[u]*w[u,v])化简可得log(d[v])<=log(d[u])+log(1+w[u,v])，那么问题转换为加法（这只能用作判定，似乎不能打出答案？我觉得pow(m, d[v])可以打出（m是底）？，例题：

1. 逃生

层次图：

1. 【NOIP模拟题】行动！行动！（spfa+优化）