鸽巢原理

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鸽巢原理

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10只鸽子放进9个鸽笼，那么一定有一个鸽笼放进了至少两只鸽子。

鸽巢原理，又名狄利克雷抽屉原理、鸽笼原理。

其中一种简单的表述法为：

• 若有n个笼子和n+1只鸽子，所有的鸽子都被关在鸽笼里，那么至少有一个笼子有至少2只鸽子。

另一种为：

• 若有n个笼子和kn+1只鸽子，所有的鸽子都被关在鸽笼里，那么至少有一个笼子有至少k+1只鸽子。

拉姆齐定理是此原理的推广。

[编辑] 例子

虽然鸽巢原理看起来很容易理解，但有时使用鸽巢原理会得到一些有趣的结论：

• 比如：北京至少有两个人头发数一样多。
  • 证明：常人的头发数在15万左右，可以假定没有人有超过100万根头发，但北京人口大于100万。如果我们让每一个鸽巢对应一个头发数字，鸽子对应于人，那就变成了有大于100万只鸽子要进到至多100万个巢中。所以，可以得到“北京至少有两个人头发数一样多”的结论。

另一个例子：

• 盒子里有10只黑袜子、12只蓝袜子，你需要拿一对同色的出来。假设你总共只能拿一次，只要3只就可以拿到相同颜色的袜子，因为颜色只有两种（鸽巢只有两个），而三只袜子（三只鸽子），从而得到“拿3只袜子出来，就能保证有一双同色”的结论。

更不直观一点的例子：

• 有n个人（至少2人）互相握手（随意找人握），必有两人握手次数相同。
  • 这里，鸽巢对应于握手次数，鸽子对应于人，每个人都可以握[0,n-1]次（但0和n-1不能同时存在，因为如果一个人不和任何人握手，那就不会存在一个和所有其他人都握过手的人），所以鸽巢是n-1个。但有n个人（n只鸽子），因此证明了命题正确。

鸽巢原理经常在计算机领域得到真正的应用。比如：哈希表的重复问题（冲突）是不可避免的，因为Keys的数目总是比Indices的数目多，不管是多么高明的算法都不可能解决这个问题。这个原理，还证明任何无损压缩算法，在把一个文件变小的同时，一定有其他文件增大来辅助，否则某些信息必然会丢失。