母函数详解

母函数（Generating function）详解


在数学中，某个序列的母函数是一种形式幂级数，其每一项的系数可以提供关于这个序列的信息。使用母函数解决问题的方法称为母函数方法。


母函数可分为很多种，包括普通母函数、指数母函数、L级数、贝尔级数和狄利克雷级数。对每个序列都可以写出以上每个类型的一个母函数。构造母函数的目的一般是为了解决某个特定的问题，因此选用何种母函数视乎序列本身的特性和问题的类型。


这里先给出两句话，不懂的可以等看完这篇文章再回过头来看：


"把组合问题的加法法则和幂级数的t的乘幂的相加对应起来"


"母函数的思想很简单—就是把离散数列和幂级数一一对应起来，把离散数列间的相互结合关系对应成为幂级数间的运算关系，最后由幂级数形式来确定离散数列的构造. "


我们首先来看下这个多项式乘法：




















由此可以看出:


1. x的系数是a1,a2,…an的单个组合的全体。


2. x2的系数是a1,a2,…an的两个组合的全体。


………


n. xn的系数是a1,a2,….an的n个组合的全体（只有1个）。


由此得到：


 


母函数的定义：






对于序列a0，a1，a2，…构造一函数：


称函数G(x)是序列a0，a1，a2，…的母函数


这里先给出2个例子，等会再结合题目分析：


第一种：


 


有1克、2克、3克、4克的砝码各一枚，能称出哪几种重量？每种重量各有几种可能方案？ 


考虑用母函数来接吻这个问题：


我们假设x表示砝码，x的指数表示砝码的重量，这样：


1个1克的砝码可以用函数1+x表示，


1个2克的砝码可以用函数1+x2表示，


1个3克的砝码可以用函数1+x3表示，


1个4克的砝码可以用函数1+x4表示，


上面这四个式子懂吗？


我们拿1+x2来说，前面已经说过，x表示砝码，x的指数表示重量，即这里就是一个质量为2的砝码，那么前面的1表示什么？1代表重量为2的砝码数量为0个。（理解！）


不知道大家理解没，我们这里结合前面那句话：


"把组合问题的加法法则和幂级数的t的乘幂的相加对应起来"


1+x2表示了两种情况：1表示质量为2的砝码取0个的情况，x2表示质量为2的砝码取1个的情况。


这里说下各项系数的意义：


在x前面的系数a表示相应质量的砝码取a个，而1就表示相应砝码取0个，这里可不能简单的认为相应砝码取0个就该是0*x2(想下为何？结合数学式子)。


所以，前面说的那句话的意义大家可以理解了吧？


几种砝码的组合可以称重的情况，可以用以上几个函数的乘积表示：


(1+x)(1+x2)(1+x3)(1+x4)


=(1+x+x2+x3)(1+x3+x4+x7)


=1+x+x2+2x3+2x4+2x5+2x6+2x7+x8+x9+x10 


从上面的函数知道：可称出从1克到10克，系数便是方案数。（！！！经典！！！）


    例如右端有2x5 项，即称出5克的方案有2：5=3+2=4+1；同样，6=1+2+3=4+2；10=1+2+3+4。


    故称出6克的方案有2，称出10克的方案有1。


接着上面，接下来是第二种情况：


求用1分、2分、3分的邮票贴出不同数值的方案数：


大家把这种情况和第一种比较有何区别？第一种每种是一个，而这里每种是无限的。




以展开后的x4为例，其系数为4，即4拆分成1、2、3之和的拆分数为4；


即 ：4=1+1+1+1=1+1+2=1+3=2+2


这里再引出两个概念整数拆分和拆分数：


 


所谓整数拆分即把整数分解成若干整数的和（相当于把n个无区别的球放到n个无标志的盒子，盒子允许空，也允许放多于一个球）。


整数拆分成若干整数的和，办法不一，不同拆分法的总数叫做拆分数。


现在以上面的第二种情况每种种类个数无限为例，给出模板：

#include<iostream>

using namespace std;

 

const int _max = 121;

//c1是保存各项质量砝码可以组合的数目

//c2是中间量，保存没一次的情况

int c1[_max], c2[_max];  

int main()

{   //int n,i,j,k;

    int nNum;  //

    int i, j, k;

 

    while(cin >> nNum && nNum) 

    {

       for(i=0; i<=nNum; ++i)   // ---- ①

       {

           c1[i] = 1;

           c2[i] = 0;

       }

       for(i=2; i<=nNum; ++i)   // ----- ②

       {

 

           for(j=0; j<=nNum; ++j)   // ----- ③

              for(k=0; k+j<=nNum; k+=i)  // ---- ④

              {

                  c2[j+k] += c1[j];

              }

           for(j=0; j<=nNum; ++j)     // ---- ⑤

           {

              c1[j] = c2[j];

              c2[j] = 0;

           }

       }

       cout << c1[nNum] << endl;

    }

    return 0;

}

 

我们来解释下上面标志的各个地方：


① 、首先对c1初始化，由第一个表达式(1+x+x2+..xn)初始化，把质量从0到n的所有砝码都初始化为1.


 


② 、 i从2到n遍历，这里i就是指第i个表达式，上面给出的第二种母函数关系式里，每一个括号括起来的就是一个表达式。


 


 


③、j 从0到n遍历，这里j就是只一个表达式里第j个变量，比如在第二个表达式里：(1+x2+x4....)里，第j个就是x2*j.


 


③ k表示的是第j个指数，所以k每次增i（因为第i个表达式的增量是i）。


 


④ 、把c2的值赋给c1,而把c2初始化为0，因为c2每次是从一个表达式中开始的


 


咱们赶快趁热打铁，来几道题目：


（相应题目解析均在相应的代码里分析）


1.  题目：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1028


代码：http://www.wutianqi.com/?p=587


这题大家看看简单不？把上面的模板理解了，这题就是小Case!


 


看看这题：


2.  题目：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1398


代码：http://www.wutianqi.com/?p=590


要说和前一题的区别，就只需要改2个地方。 在i遍历表达式时（可以参考我的资料---《母函数详解》），把i<=nNum改成了i*i<=nNum,其次在k遍历指数时把k+=i变成了k+=i*i; Ok,说来说去还是套模板~~~


 


3.  题目：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1085


代码：http://www.wutianqi.com/?p=592


这题终于变化了一点，但是万变不离其中。


大家好好分析下，结合代码就会懂了。


 


4.  题目：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1171


代码：http://www.wutianqi.com/?p=594


 


 


 


还有一些题目，大家有时间自己做做：


HDOJ：1709，1028、1709、1085、1171、1398、2069、2152


附：


1.在维基百科里讲到了普通母函數、指數母函數、L級數、貝爾級數和狄利克雷級數：


http://zh.wikipedia.org/zh-tw/%E6%AF%8D%E5%87%BD%E6%95%B0


2．Matrix67大牛那有篇文章：什么是生成函数：


http://www.matrix67.com/blog/archives/120


3.大家可以看看杭电的ACM课件的母函数那篇，我这里的图片以及一些内容都引至那。