【HNOI】 lct tree-dp

　　【题目描述】给定2-3颗树，每个边的边权为1，解决以下独立的问题。

　　　　现在通过连接若干遍使得图为连通图，并且Σdis(x,y)最大，x，y只算一次。

　　　　每个点为黑点或者白点，现在需要删除一些边，使得图中的黑点度数为奇数，白点为偶数，要求删除的边最多。

　　【数据范围】 100% n<=10^5

　　首先我们来解决第一问，因为每加一条边就可能使得若干点到其他点的距离变小，那么我们需要加尽量少的边来使得图连通。

　　设dis_[x]为x在x所在子树中，x到其他所有点的距离，这个我们可以通过设dis[x]表示x到x子树中所有点的距离和来由父节点转移得到。

　　那么答案可以分为两部分，分别为树中的点对距离和跨树的点对距离，前一个问题比较容易，可以通过dis_[x]或者计算每条边被经过的次数来求出。

　　那么对于两颗树的情况，我们就需要连接这两棵树中dis值最大的两个点，假设为x，y。这样答案就是      dis[x]*size[tree_y]+dis[y]*size[tree_x]+size[tree_x]*size[tree_y]，这个由连接的那条边的被经过次数可以得出。

　　那么现在考虑三棵树的情况，我们需要枚举中间的树，这样左右两棵树肯定连接dis最大的点，中间的连接的则不确定，我们可以列出来整个答案的表达式，设左面的树和中间的树通过x,y点连通，中间的点和右面的树通过u,v点连接，设三棵树的size为size[1],size[2],size[3]，y与u点的距离为d[y][u]，那么答案就是size[1]*dis_[y]+size[2]*dis_[x]+size[1]*size[2]+size[3]*dis_[u]+size[2]*dis_[v]+size[1]*dis_[v]+size[3]*dis_[u]+size[1]*size[3]*(d[y][u]+2)

　　我们可以发现，这个中与y,u点有关的式子可以写成a*dis_[y]+b*dis_[u]+c*d[u][v]的形式，其中a,b,c为常数，那么对于这个我们就可以用tree-dp搞出来，记录点x的子树中dis_[p]+(d[x][p]+1)*c的最大值，然后不断的更新答案就可以了。

　　第二问比较简单，我们可以贪心的来想，对于一棵树，我们从叶子节点开始，因为叶子节点的度数为1，那么我们只需要判断叶子节点的颜色，就可以判断这个点和其父节点的边是否可以删掉。

　　反思：开始写tree-dp维护中间树的值的时候没有考虑到一些特殊情况，比如连接的y,u点其中一点是另一点的祖先，还有开始觉得如果中间的树选择两个点肯定不能是同一点，所以边界就处理的不是特别好，但是可能会有某些点单独构成树，这样的话就必须连接同一个点。第二问还是比较容易写的。

//By BLADEVIL

#include <cstdio>

#include <cstring>

#include <algorithm>

#define maxn 100010

#define LL long long



using namespace std;



LL n,m,l;

LL a[maxn],pre[maxn<<1],other[maxn<<1],last[maxn],col[maxn],rot[4],num[maxn<<1],flag[maxn];

LL dis_[maxn],dis[maxn],size[maxn],ans[maxn],ANS[4],max_a[maxn],max_b[maxn],cnt[maxn];



void connect(LL x,LL y,LL z) {

    pre[++l]=last[x];

    last[x]=l;

    other[l]=y;

    num[l]=z;

}



void paint(LL x,LL fa,LL c) {

    col[x]=c;

    for (LL p=last[x];p;p=pre[p]) {

        if (other[p]==fa) continue;

        paint(other[p],x,c);

    }

}



void make_dis(LL x,LL fa) {

    dis[x]=0; size[x]=1;

    for (LL p=last[x];p;p=pre[p]) {

        if (other[p]==fa) continue;

        make_dis(other[p],x);

        dis[x]+=dis[other[p]]+size[other[p]];

        size[x]+=size[other[p]];

    }

}



void make_dis_(LL x,LL fa,LL s) {

    if (fa!=-1) dis_[x]=dis_[fa]-size[x]-dis[x]+s-size[x]+dis[x]; else dis_[x]=dis[x];

    for (LL p=last[x];p;p=pre[p]) {

        if (other[p]==fa) continue;

        make_dis_(other[p],x,s);

    }

}



void calc(LL x,LL fa,LL s) {

    for (LL p=last[x];p;p=pre[p]) {

        if (other[p]==fa) continue;

        ANS[col[x]]+=size[other[p]]*(s-size[other[p]]);

        calc(other[p],x,s);

    }

}



void dp(LL x,LL fa,LL a,LL b,LL c,LL &Ans) {

    max_a[x]=dis_[x]*a+c; max_b[x]=dis_[x]*b+c;

    for (LL p=last[x];p;p=pre[p]) {

        if (other[p]==fa) continue;

        dp(other[p],x,a,b,c,Ans);

        max_a[x]=max(max_a[x],max_a[other[p]]+c);

        max_b[x]=max(max_b[x],max_b[other[p]]+c);

    }

    LL aa=0,bb=0;

    //printf("%d %d\n",max_a[x],max_b[x]);

    for (LL p=last[x];p;p=pre[p]) {

        if (other[p]==fa) continue;

        Ans=max(Ans,max_a[x]+c+dis_[x]*b);

        Ans=max(Ans,max_b[x]+c+dis_[x]*a);

    }

    //printf("%d %d\n",x,Ans);

    for (LL p=last[x];p;p=pre[p]) {

        if (other[p]==fa) continue;

        if (max_a[other[p]]>max_a[aa]) aa=other[p];

        if (max_b[other[p]]>max_b[bb]) bb=other[p];

    }

    //printf("%d %d\n",x,Ans);

    for (LL p=last[x];p;p=pre[p]) {

        if (other[p]==fa) continue;

        if (other[p]!=aa) Ans=max(Ans,max_a[aa]+max_b[other[p]]+(c<<1));

        //printf("%d %d %d %d\n",Ans,max_a[aa],max_b[other[p]],c<<1);

        if (other[p]!=bb) Ans=max(Ans,max_b[bb]+max_a[other[p]]+(c<<1));

    }

    //printf("%d %d\n",aa,max_a[aa]);

    //printf("%d %d\n",x,Ans);

}



LL work(LL le,LL x,LL ri) {

    LL a=size[le],b=size[ri],c=size[le]*size[ri],ans=0;

    LL cur[4]; cur[1]=cur[2]=cur[3]=0;

    for (LL i=1;i<=n;i++) cur[col[i]]=max(cur[col[i]],dis_[i]);

    //printf("fuck %d %d\n",col[le],col[ri]);

    ans=cur[col[le]]*size[x]+a*size[x]+cur[col[ri]]*size[x]+size[x]*b+a*cur[col[ri]]+b*cur[col[le]];

    //printf("fuck\n");

    memset(max_a,0,sizeof max_a);

    memset(max_b,0,sizeof max_b);

    LL Ans=-1;

    dp(x,-1,a,b,c,Ans);

    Ans=max(Ans,c<<1);

    //printf("%d %d\n",ans,Ans);

    ans+=Ans;

    //printf("%d\n",ans);

    return ans;

}



void Work(LL x,LL fa) {

    for (LL p=last[x];p;p=pre[p]) {

        if (other[p]==fa) continue;

        Work(other[p],x);

    }

    //printf("%d %d %d\n",x,a[x],cnt[x]);

    if (a[x]^cnt[x]) {

        for (LL p=last[x];p;p=pre[p]) 

            if (other[p]==fa) flag[num[p]]=1;

        cnt[fa]^=1;

    };

}



int main() {

    freopen("lct.in","r",stdin); freopen("lct.out","w",stdout);

    scanf("%lld%lld\n",&n,&m);

    char c;

    for (LL i=1;i<=n;i++) scanf("%c",&c),a[i]=(c=='B')?1:0;

    for (LL i=1;i<=m;i++) {

        LL x,y;

        scanf("%lld%lld",&x,&y);

        connect(x,y,i); connect(y,x,i);

    }

    LL sum=0;

    for (LL i=1;i<=n;i++) if (!col[i]) paint(i,-1,++sum),rot[sum]=i;

    for (LL i=1;i<=3;i++) if (rot[i]) make_dis(rot[i],-1),make_dis_(rot[i],-1,size[rot[i]]);

    for (LL i=1;i<=3;i++) if (rot[i]) calc(rot[i],-1,size[rot[i]]);

    //for (LL i=1;i<=n;i++) printf("%d ",col[i]); printf("\n");

    //printf("%d %d %d\n",rot[1],rot[2],rot[3]);

    //for (LL i=1;i<=n;i++) printf("%d %d %d %d\n",i,dis[i],dis_[i],size[i]);

    //for (LL i=1;i<=3;i++) printf("%d ",ANS[i]); printf("\n");

    if (sum==2) {

        LL cur[3];

        cur[1]=cur[2]=0;

        for (LL i=1;i<=n;i++) cur[col[i]]=max(cur[col[i]],dis_[i]);

        LL Ans=ANS[1]+ANS[2]+cur[1]*size[rot[2]]+cur[2]*size[rot[1]]+size[rot[1]]*size[rot[2]];

        printf("%lld\n",Ans);

        //printf("%d %d\n",cur[1],cur[2]);

        //printf("%d %d\n",size[rot[1]],size[rot[2]]);

        //printf("%d %d\n",ANS[1],ANS[2]);

    } else {

        LL Ans=0;

        Ans=max(Ans,work(rot[2],rot[1],rot[3]));

        Ans=max(Ans,work(rot[1],rot[2],rot[3]));

        Ans=max(Ans,work(rot[1],rot[3],rot[2]));

        //printf("%d\n",Ans);

        Ans+=ANS[1]+ANS[2]+ANS[3];

        printf("%lld\n",Ans);

    }

    for (LL i=1;i<=n;i++) 

        for (LL p=last[i];p;p=pre[p]) cnt[other[p]]++,cnt[i]++;

    //for (LL i=1;i<=n;i++) printf("%d\n",cnt[i]);

    //for (LL i=1;i<=n;i++) printf("%d\n",a[i]);

    for (LL i=1;i<=n;i++) cnt[i]/=2,cnt[i]%=2;

    for (LL i=1;i<=3;i++) Work(rot[i],-1);

    LL ans_=0;

    for (LL i=1;i<=m;i++) if (!flag[i]) ans_++;

    printf("%lld\n",ans_);

    for (LL i=1;i<=m;i++) if (!flag[i]) printf("%lld ",i); printf("\n");

    fclose(stdin); fclose(stdout);

    return 0;

}