欧几里德算法及其扩展（推导&&模板）
有关欧几里德算法整理：
1.一些相关概念：
<1>.整除性与约数：
①一个整数可以被另外一个整数整除即为d|a(表示d整除a，通俗的说是a可以被d整除），其含义也可以说成，存在某个整数k，使得a=kd.
②如果d|a且d>=0,则称d是a的约数。
③如果d|a,则-d|a，即a的任何约数的负数同样可以整除a.但一般规定，约数为非负数。非零整数a的约数应至少为1，且d<=|a|.
④因子：整数a的非平凡约数（除了1和它本身的约数）称为a的因子。
<2>.素数和合数.
<3>.除法定理：
对于任何整数a和任何正整数n，存在唯一整数q和r，满足0<=r<n,且a=qn+r.
等模：
根据整数模n的余数，我们可以将所有的整数划分成n个等分类。包含整数a的模n等价类为：[a]n={a+kn}
<4>.公约数与最大公约数：
①概念：
公约数：如果d是a的约数并且d也是b的约数，则d是a与b的公约数；
两个不同时为0的整数a与b的公约数种最大的称为其最大公约数，记作gcd(a,b);
②基本性质：
公约数的重要性质：若d是a,b的公约数，则d|(a+b)且d|(a-b);且对任意整数x,y,有d|(ax+by);
gcd函数的基本性质略简单不提；
若任意整数a,b不都为0，则gcd(a,b)为a与b的线性组合集{ax+by:x,y属于Z}的最小正整数。
1 这里略带证明一下： 2 3 设s是a与b的线性组合集合中的最小正元素，并且对某个x，y属于Z,有s=ax+by,设q=a/s. 4 a mod s=a-qs; 5 由于0<=a mod s<s 6 =>a mod s=0 7 =>s|a; 8 同理，s|b 9 =>s是a与b的公约数，满足gcd(a,b)>=s; 10 又gcd(a,b)|s,s>0
11 =>gcd(a,b)<=s; 12 结合以上，gcd(a,b)=s; 13
2.欧几里德算法：
<1>.基本原理：gcd(a,b)=gcd(b,a mod b)
<2>.代码：
欧几里德算法：//递归
int gcd(int a,int b)
{
if (b==0) return a;
else return gcd(b,a mod b);
}
最小公倍数：
int gbs(int m,int n)
{
return m*n/gcd(m,n);
}
3.扩展欧几里德算法：
<1>.形式：d=gcd(a,b)=ax+by;
<2>.推导：
设 ax1+by1=gcd(a,b);
bx2+(a mod b)y2=gcd(b,a mod b);
根据欧几里德原理有 gcd(a,b)=gcd(b,a mod b);
则:ax1+by1=bx2+(a mod b)y2;
即:ax1+by1=bx2+(a-(a/b)*b)y2=ay2+bx2-(a/b)*by2;
根据：x1=y2; y1=x2-(a/b)*y2;
上面的思想是以递归定义的，因为 gcd 不断的递归求解一定会有个时候 b=0，所以递归可以结束。
代码如下
int exgcd(int a,int b,int &x,int &y)
{
if(b==0)
{
x=1;
y=0;
return a;
}
int r=exgcd(b,a%b,x,y);
int t=x;
x=y;
y=t-a/b*y;
return r;
}
如果您不太理解以上的程序，可以试着看看算法导论的伪代码：
这个代码是实现起来和上面是一样的，只是在这里可以帮助理解
EXTENDED-EUCLID(a,b)
if(b=0)
then return (a,1,0)
(d1,x1,y1) <- (d1,y1,x1-a/b*y )
return (d,x,y)
个人觉得，要真正理解这个算法，还是需要通过刷题来领会