可知当两人相遇: L1-L2=k*l;
即 :(m-n)t-(y-x)=kL
根据整除取余的方法:[ a/b=c...d --> a-d=c*b;]
可得到:(m-n)t mod l=y-x;
得到线性同余方程
此方程有解当且仅当 y-x 能被 m-n 和l的最大公约数整除
接下来
就要用到欧几里得算法的扩展应用中的三条定理:
定理一:如果d = gcd(a, b),则必能找到正的或负的整数k和l,使d = a*x+ b*y。 定理二:若gcd(a, b) = 1,则方程ax ≡ c (mod b)在[0, b-1]上有唯一解。(恒等于)
定理三:若gcd(a, b) = d,则方程ax ≡ c (mod b)在[0, b/d - 1]上有唯一解。
求a * x + b * y = n的整数解。 1、先计算Gcd(a,b),若n不能被Gcd(a,b)整除,则方程无整数解;否则,在方程两边同时除以Gcd(a,b),得到新的不定方程a' * x + b' * y = n',此时Gcd(a',b')=1; 2、利用上面所说的欧几里德算法求出方程a' * x + b' * y = 1的一组整数解x0,y0,则n' * x0,n' * y0是方程a' * x + b' * y = n'的一组整数解; 3、根据数论中的相关定理,可得方程a' * x + b' * y = n'的所有整数解为: x = n' * x0 + b' * t y = n' * y0 - a' * t
代码:
# include <stdio.h> #include<cmath> using namespace std; __int64 gcd(__int64 a,__int64 b) { if(b==0) return a; return gcd(b,a%b); } void exgcd(__int64 a,__int64 b,__int64 &m,__int64 &n) { if(b==0) { m=1; n=0; return ; } exgcd(b,a%b,m,n); __int64 t; t=m; m=n; n=t-a/b*n; } int main() { __int64 x,y,m,n,l,a,b,c,k1,k2,r,t; while(scanf("%I64d%I64d%I64d%I64d%I64d",&x,&y,&m,&n,&l)!=EOF) { a=abs(n-m); b=l; c=x-y; r=gcd(a,b); if(c%r) { printf("Impossible\n"); continue; } a/=r; b/=r; c/=r; exgcd(a,b,k1,k2); t=c*k1/b;//mark k1=c*k1-t*b;// if(k1<0) k1+=b; printf("%I64d\n",k1); } return 0; }
最后,这里需要注意一个地方:
就是k1的取值问题...
此时方程的所有解为:x=c*k1-b*t,x的最小的可能值是0,令x=0可求出当x最小时的t的取值,但由于x=0是可能的最小取值,那么由计算机的取整除法可知:由 t=c*k1/b算出的t,代回x=c*k1-b*t中,求出的x可能会小于0,当x小于0时,加上b,也就是距离;如果代回后x仍是大于等于0的,那么不需要再做修正。