4 - 机器学习真的可行吗？

• 机器学习的可行性

  假设有如下学习问题：

  

  训练数据D包含了6张3*3的黑白图片，并给出了对应的输出，根据这些信息确定一个近似目标函数g，并用g计算最下方图片的输出。

  甲认真看了下发现第一行三张图片左上角都是黑色色块，第二行三张图片左上角都是白色色块，最下面那张左上角是黑色，所以g(x)=-1；乙发现第一行三张图片都不是对称的，第二行三张图片总能找到一个对称轴，而最下面那张图也有一个对称轴，所以g(x)=+1。在这个例子中，你给出一个备选的g函数，总能找到另一个g'函数在D上成立，并且输出与g相反，也即，在D上正确的g，在D以外的数据上不一定正确！更苦逼的是，D以外的计算结果我们无法验证它的正确性！

  再举一个相似的例子：

  输入集{χ}={0,1}^3;，输出集{η}={○，x}

  训练数据D -》 

  由于该问题比较简单，我们可以把所有在D上成立的备选函数 fi 枚举出来：

  
  

  f1 ~ f8 都有可能是函数g，但是我们确定不了。

  在上面的两个例子中，在D的基础上都能得出不止一个备选函数 fi，并且无法确定这些备选函数的正确性。对于这样的问题，可以讲机器学习是无能为力的。

  
  

• 概率方法

  根据上一节，用有限的数据D，去推测D超集上的目标函数f有可能会失败。这种用已知推测未知的问题在概率论中同样存在：

  

  在一个罐子里，放着很多小球，他们分两种颜色{橘色，绿色}。有什么办法能够推测橘色小球所占的比例？

  从罐中随机抓一把小球，有N个。

  设：罐中橘色球的比例为μ（未知），抓出来的样本中橘色球的比例为ν（已知）。ν能代表μ吗？

  根据概率论中的霍夫丁不等式（Hoeffding’s Inequality），若N足够大，ν就很可能接近μ。

  

  
  

• 概率方法与机器学习的联系

  罐子中橘色球的比例μ  --》备选函数h(x)的正确性（是否接近f(x)），h∈H 

  罐子中的小球              --》 输入集{χ}

  作为样本的N个小球     --》 训练集D={ xi,  yi }   ( i=1, ... ,N)   D∈{χ}

  橘色小球                     --》h(xi)错误，或h(xi)≠f(xi)

  绿色小球                     --》h(xi)正确，或h(xi)=f(xi)

  这里假设小球与数据x都是独立同分布的。

  显然，N足够大的时候可以用D上的 [h(x)≠f(x)] 来推测{χ}上的 [h(x)≠f(x)]。就是说，如果样本足够大，那么备选函数h在D上犯错误的比例接近其在{χ}上犯错误的比例。

  设某一备选函数h在D上的犯错比例为E-in(h)，在整个输入集上的犯错比例为E-out(h)，则有：

  
  

  这意味着我们可以根据备选函数h在D上的表现来衡量它的正确性，并最终从备选函数集H中选出最优的那个h作为g，且g≈f。

  
  

• 真实的机器学习

  到此为止万无一失了吗？No，因为概率论喜欢与人开玩笑。举个例子，150个人，每人抛一个硬币5次，至少有一个人5次皆为人头向上的概率为：

                                                        1 - (31/32)^150 = 99.15%

  所以一个小概率事件如果重复多次，他发生的概率就会变得很大。

  同理，如下情形是有可能的：

  学习算法A在备选函数集H中（含有很多h）孜孜不倦地挑选着h，突然找到一个hi，发现它在D上没犯错误或只犯了很少错误，A高兴大喊：我找到g了，就是这个hi！但实际上这个hi在{χ}上却犯了很多错误（E-in(hi)与E-out(hi)差很远）。对于这个hi来说，D是一个坏样本（Bad Sample）。

  

  H中可能提取若干样本Di，{ i= 1, 2，3 . . . }，对于某一个h来说，其中一些样本是Bad Sample。那么对于任意样本D和给定的h，有：

  （for h）

  在整个备选函数集H（有M个元素）上，以下4个命题等价：

  ---D是H的Bad Sample
  

  ---D是某些h的Bad Sample 

  ---学习算法A不能在H中做自由筛选   

  ---存在某些h使得E-in(h)与E-out(h)差很远

  

  所以，D-1126这样的训练数据集是比较优质的。

  给定任意D，它是某些H的Bad Sample的概率为：

  

  即H中备选函数的数量M越少，样本数据量N越大，则样本成为坏样本的概率越小。在一个可接受的概率水平上，学习算法A只需要挑选那个表现最好的h作为g就行了。

  以上推论成立的必要条件是M有限，当M→∞时怎么办？下次讨论。