编辑距离问题 - 经典DP问题

 

这题必须好好写一下心得。这题包含很多“剪切粘贴”技术，这是一种强化题目条件，并且不会改变问题最终答案的技巧。

 先设A的长度为LA，B的长度为LB，并且第一个字符的编号为1。

 这种类型的dp，经常都是以首尾字符作为突破口的。
我们来看一下A[1]，由于最后B是要变成跟A一样的，所以，为了获得一个字符来跟A[1]配对，必然满足其中一个情况：（1） 我们要么插一个字符x（x等于A[1]）到B里面去跟A[1]配对，或者使用B本身就有的某个字符B[k]（B[k]等于A[1]）来跟A[1]配对。

先看情况一，就是 我们插入一个x到B里面去跟A[1]配对。
显然，这个x最简单就是插入到B的最前面，也就是B[1]的前面，然后我们要做的就是 将 B[1....LB] 和 A[2....LA] 变成一样。成功转移！
可是，除了插到B的最前面以外，我们还可以把x插入到B的其他位置啊，不需要考虑一下吗？
这个疑问不是多余的，所以现在就来证明一下：只考虑插入到B的最前面，不考虑插入到B的其他部分，也不会影响最后得到的最优解。
假设存在一个最优方案，是把x插到B[1]后面的某个位置的，譬如说插入到B[3]的前面（B[2]的后面）。那么，当我们插入x到B[3]前面以后，我们要做的就是 把B[1..2]删掉，把B[3....LB] 变成和A[2...LA]一样。我们可以对这个方案实施剪切粘贴，也就是说，当我们把x插入到B[1]前面之后，接下来，我们也可以一样地通过 把B[1..2]删掉，把B[3....LB] 变成和A[2...LA]一样 来实现我们的最终目的——把B变成和A一样！所以，就算我们只考虑把x插入到B[1]的前面，我们最后也肯定不会错过最优解！

再看情况二，就是 我们尝试在B里面找某个B[k]来跟A[1]配对。
最简单的情况就是，如果B[1]恰好等于A[1]，那么我们要做的就只是 把B[2...LB]变成和A[2...LA]一样。转移成功。
可是，这里还有个疑问，就算A[1]恰好等于B[1]， 但是我们前面说，我们是要找某个B[k]来跟A[1]配对的，可是现在只考虑了用B[1]，譬如说，如果B[4]也恰好等于A[1]，难道不需要考虑吗？
重施故技，还是使用剪切粘贴的思路来证明：只考虑用B[1]来配对A[1]，不考虑其他的B[j]，是不会影响最后的最优解的。
在B[1]等于A[1]的前提下，假设存在一个最佳方案，并且该最佳方案使用B[4]来跟A[1]配对，那么就意味着，我们要 把B[1..3]删掉，然后把 B[5...LB]变成和A[2....LA]一样。考虑一下，如果我们使用B[1]来跟A[1]配对，接下来，我们也可以 把B[2....4]删掉，然后把B[5...LB]变成和A[2....LA]一样。注意看，这样做付出的代价，跟 “把B[1..3]删掉，然后把 B[5...LB]变成和A[2....LA]一样” 是一样的！也就是说，当B[1]等于A[1]的时候，就算我们只考虑用B[1]来跟A[1]配对，也肯定不会错过最优解的！

继续看，如果B[1]不等于A[1]呢？那我们就只能找另外一个B[j]来跟A[1]配对了，也就意味着我们必须把B[1]删掉了，然后我们要做的就是 把B[2...LB] 变成和A[1....LA] 一样。转移成功。



通过以上的分析，状态转移的思路就全部出来了。

设f（i，j） 表示 将B[j..LB] 变成 A[i..LA]一样的最优方案的代价，那么我们有：
f（i，j） 为
（1）1 + f（i+1，j）
（2）1 + f（i+1，j+1） ，前提是B[j] == A[i]
（3）1 + f（i，j+1），前提是 B[j] != A[i]
取这三者里的最小者


ps，所谓剪切粘贴技术，就是有时候，我们为了解题，需要一些题目没有给出的额外的强化条件或者约束，于是，我们人为地把这些我们需要的条件加上去，然后，我们要做的就是尝试证明，这些我们自己加上去的东西，不会影响最后的问题答案，不然的话，我们是不能加上这些东西的。常用的手段是，我们可以先假设存在一个原问题的最后答案Ans，然后我们只需要证明，我们加上这些额外条件以后得到的答案，跟Ans是一样的！这个技巧在贪心和DP里面用得尤其多，譬如说，单机调度问题里，就是用了这种思路来消除顺序，消除了顺序，一样不影响最后的答案，并且也让dp顺利进行。

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今天写代码的时候发现看漏了一种操作，那就是修改某个字符。

 

所以重新写一下。不过这次写得简单些。

对于A[1]来说，要么我们插入一个x等于A[1]到B里面，这种情况上面已经讨论过，不然的话，要么我们用B[1]来跟A[1]配对，要么不用B[1]，

如果我们用B[1]来跟A[1]配对，又分两种情况，如果B[1]本身就等于A[1]，那么不用修改B[1]，不然的话就要修改B[1]为A[1]

如果我们不用B[1]来跟A[1]配对，就意味着B[1]必须被删掉。

 

综上，转移方程为

f(i, j) =
f(i + 1, j) + 1            插入A[1]到B的情况
f(i + 1, j + 1)                      用B[1]来跟A[1]配对，而且B[1]==A[1]
f(i + 1, j + 1) +1                 用B[1]来跟A[1]配对，而且B[1]!=A[1]
f(i, j + 1) + 1                      不用B[1]来跟A[1]配对

 

#include <cstring>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
using namespace std;

char A[100];
char B[100];
int LA, LB;

int f[105][105];

int dp(int i, int j) {
  int & ans = f[i][j];
  if (ans != -1) return ans;


  if (i == LA + 1 && j == LB + 1) return ans = 0;
  if (i == LA + 1) return ans = LB - j + 1;
  if (j == LB + 1) return ans = LA - i + 1;

  ans = dp(i + 1, j) + 1;
  ans = min(ans, dp(i + 1, j + 1) + (A[i] == B[j] ? 0 : 1) );
  ans = min(ans, dp(i, j + 1) + 1);

  return ans;
}


int main() {
  scanf("%s %s", A + 1, B + 1);
  LA = strlen(A + 1);
  LB = strlen(B + 1);
  for (int i = 0; i < 105; ++i)
    for (int j = 0; j < 105; ++j)
      f[i][j] = -1;

  printf("%d\n", dp(1, 1));
  return 0;
}