多精度算术学习(二)

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减法:
  按照数学定义 x-y 等价于 x+(-y), 因此实现上先将 y 求其对应负数, 然后
用已经实现的加法就可完成减法的运算.

  因此只需要研究如何求负数即可.

  求一个数的负数 neg(), 等于将该数字二进制求补码, 也即先反转所有二进制位
然后加上 1. 代码示例如下:

  int carry = 1; // 整个数反转后要+1, 所以初始为 1.
  for (int i = 0; i < len; ++i) {
    carry += (~src.arr[i]) // 二进制反转, ~ 为求反运算.
        & 0xff; // 取 byte 部分.
    dest[i] = (byte)carry; // 取低位.
    carry >>>= 8;  // 进位部分
  }
  boolean overflow = src[len-1] < 0 && dest[len-1] < 0;
  if (overflow) dest[len++] = 0;
  return new mp_int (len, dest); // 结果

  关于 overflow 标志, 举例如数字 = -128=0x80 时, 取反得到 0x7F, 加上1
又回到 0x80, 此时称为 overflow. 这种情况只发生在最高位为 1, 其余所有位
都是 0 的情况. 此时求负之后的数字要当做无符号数看待, 在最高位补上一个 0
(dest[len++] = 0 即为最高位补0).

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乘法
  为简化问题, 只考虑正数的乘法, 如果x,y 有负数, 先对齐求负转换为正数,
然后再进行乘法.

  类似于我们手写数字乘法竖式, 我们将各个位逐个相乘, 并累加到结果上,
有进位的继续向高一位累加. 这样一个 m位的数字乘上一个 n位的数字, 得到的
结果为 m*n 位的. 伪代码如下:

  mul(byte[] dest, byte[] x, int xlen, byte[] y, int ylen)
  // 计算乘积, 使得 dest = x*y
    for (int i = 0; i < ylen; ++i) {
      int yword = (int)y[i] & 0xff; // 取y 的第 i位.
      int carry = 0; // 进位.
      for (int j = 0; j < xlen; ++j) {
        carry += ((int)x[i] & 0xff) // 取 x 的第 j 位.
    * yword ; // 乘上 y 的第 i 位
    + ((int)dest[i+j] & 0xff); // 加上现有第 i+j 位.
 dest[i+j] = (byte) carry;  // 更新到结果的第 i+j 位
 carry >>>= 8; // 得到第 i+j+1 位的进位. 这个进位可能大于 1
      }
      dest[i+xlen] = (byte)carry;
    }

  这里细节可能有些忽略的地方, 但基本原理是每位分别乘积, 最后累加到一起.

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除法
  除法的实现代码看起来是比较复杂. 不如直接看书理解原理容易. 实际上我看
的 Kawa 源代码中也注释写着使用的是基本的 Knuth 经典算法的公式. 所以为
学原理, 这里还是看书更直接些.
 
  为实现除法 u/v, 我们先排除掉一些简单的情况:
1. 如果 u < v, 则除法 u/v 的商(quotient)=0, 余数(remainder)=u
2. 排除掉 u = v 的情况.

  现在 u > v, 先考虑 u 只比 v 多一位的情况, 此时 u 表示为
(u_n, u_(n-1), ... , u_1, u_0) 这里用下划线这里表示后面跟着下标的意思.
v 表示为 (v_(n-1), v_(n-2), ..., v_1, v_0) 的形式. 如果找到了求
这种形式的商, 也就能为更多位的 u 进行计算了, 因为可以先计算前 n+1 位,
然后再进一步加上后面的位.

  设 u = q*v + r;  则这里 q 表示商, 满足 q < b; 而 r 表示余数, 满足 r < v.
  要推测 q 的值的合理方法是, 使用 u,v 的最高位的有效数字进行推测.
这里最高位的有效数字, 指高位的 m 个二进制位, 其中最高位是1. (这里都按照
无符号整数看待, 最高位为1 仍然是正数). m 越多, 推测的就越准确.

  Knuth 的书上还有这方面的定理, 以及...证明. 这里说明, 要有好的数学功底,
才能真正理解这背后的原理, 而我数学已经很多年不学从而忘得差不多了.
因此这里, 我们努力理解这些原理, 实在理解不了, 就只能照用了.

  要得到最高位的有效数字, 在代码中我看到是使用了向左移位的方法, 将有效
位都移动到了高位. 这样计算试验商 q 比较准确些. 并且这里使用 int 型而非
byte 型, 可以使二进制位数 m 较多, 从而 q 准确性更高. 实际书上证明了
q'-2 <= q <= q', 这里 q' 表示试验商. 也即试验的商 q' 的误差绝不大于 2.

  到这里, 我们基本可以理解算法D(整数除法)的核心部分: 试商的求取了.
算法D 系统的给出了求取试商以及修正方法, 然后其它一些步骤, 这里略, 请
参考原书.