算法的形式化表示，第一章习题8解答

最近在读TAOCP(计算机程序设计艺术第三版)一书，刚读到第一章，第一节的时候，在第一节末尾提到，关于算法形式化的表示，也就是公式3：

f((σ, j)) = (σ, aj) ：若串θj不在σ中出现。

f((σ, j)) = (αΦjω, bj) : 若α是使σ=αθjω最短的串。

f((σ, N)) = (σ, N)

对于上面的公式，着实难以理解，看了几遍没什么收获，就直接跳过了，但是等到做习题8的时候，一下卡住了，根本摸不着头脑：

（8）通过描述等式3中的θj, Φj, aj, bj,给出计算正整数m和n最大公因子的一个“能行的”形式算法。令输入串由aｍbｎ表示，由m个a后面跟n个b。试尽可能简单给出你的解。【提示：使用算法E，但代替步骤E1中的除法，置r←|m-n|, n←min(m, n)】

回头先来分析一下书中的描述，在书中出现了这样几个变量，我们简单的先分析下这几个变量的意思：

σ：A*中的串

θ：A*中的串，在满足σ=αθω的情况下，表示θ在σ中出现，也就是子串。

j：整数

aj, bj：整数

在这里，我们先得理解aj跟bj的概念，这个很重要，因为突兀的出现了这几个整数变量，但是没有对其进行任何解释。aj跟bj其实就是算法中具体的步骤，第几步的意思，理解了aj跟bj的概念，再细细研读书中的描述，我们就可以通俗的表示公式3了：

前提：串θj, 串Φj, 串σ, 函数f

f((σ, j)) = (σ, aj) ：若串θj不在σ中，则进行算法步骤aj。

f((σ, j)) = (αΦjω, bj) : 若串θj在σ中，也就是σ=αθjω, 则使用Φj替换θj，并转入算法步骤bj。

f((σ, N)) = (σ, N)：算法在进入第N步后终止。

为了增进理解，可以去了解下马尔科夫算法 http://en.wikipedia.org/wiki/Markov_algorithm

理解了公式3的概念，再回过头来看习题8，其实就是用形式化的方式解最大公因子算法。

首先按照题目的提示，替换gcd算法步骤1：

E1.【求差值】置r←|m-n|, n←min(m, n)

E2.【差值为零？】若r=0,算法结束，n即为答案。

E3.【减少】置m←n,n←r，并返回步骤1.|

有了算法描述，直接上答案，这里的难点只是如何用字符串替换来表述算法中的运算和赋值：

命A=|a,b,c|, N=5. 这个算法将以字符串aｇｃｄ（ｍ，ｎ）结束。

σ = aｍbｎ

j    θj    Φj    bj    aj

0    ab    ‘’     1     2         用空串代替σ 中的ab，若不存在ab，进入步骤aj=2 （m-n）

1    ‘’    c      0     0         把c加到σ 最左边，返回步骤0（min(m, n)）

2    a    b      2     3         把所有的a变成b（n←|m-n|）

3    c    a      3     4         把所有的c变成a（m←min(m, n)）

4    b    b      0     5         如果还剩有b则重复回到步骤0,否则进入步骤5，由于N=5，所以此为结束